空间向量及其运算

菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练第六节空间向量及其运算菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练考纲要求：1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练[基础真题体验]考查角度[空间向量的数量积运算](2014·广东高考)已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是()A．(－1,1,0)B．(1，－1,0)C．(0，－1,1)D.(－1,0,1)菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【解析】各选项给出的向量的模都是2，|a|＝2.对于选项A，设b＝(－1,1,0)，则cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝1×－12×2＝－12.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.对于选项B，设b＝(1，－1,0)，则cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝1×12×2＝12.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝60°，正确．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练对于选项C，设b＝(0，－1,1)，则cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－1×12×2＝－12.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.对于选项D，设b＝(－1,0,1)，则cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－1－12×2＝－1.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝180°.故选B.【答案】B菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练[命题规律预测]命题规律1.高考在本节单独命题的几率较小，向量作为一种解题工具常常在求空间角，判断线面位置关系中得以体现．2.试题分两类：一是以客观题的形式考查基本运算，二是在解答题中体现工具性．考向预测预测2016年高考对本节知识单独命题的可能性依然不大，但应重视其在解答题中作为解题工具出现.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练考向一空间向量的线性运算[典例剖析]【例1】如图7­6­1所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练(1)AP→；(2)A1N→；(3)MP→＋NC1→.图7­6­1菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【思路点拨】结合图形，利用三角形法则或平行四边形法则及数乘向量运算求解．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【解】(1)∵P是C1D1的中点，∴AP→＝AA1→＋A1D1→＋D1P→＝a＋AD→＋12D1C1→＝a＋c＋12AB→＝a＋c＋12b.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练(2)∵N是BC的中点，∴A1N→＝A1A→＋AB→＋BN→＝－a＋b＋12BC→＝－a＋b＋12AD→＝－a＋b＋12c.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练(3)∵M是AA1的中点，∴MP→＝MA→＋AP→＝12A1A→＋AP→＝－12a＋a＋c＋12b＝12a＋12b＋c，又NC1→＝NC→＋CC1→＝12BC→＋AA1→＝12AD→＋AA1→＝12c＋a，∴MP→＋NC1→＝12a＋12b＋c＋a＋12c＝32a＋12b＋32c.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练空间向量的线性运算的方法(1)表示向量的关键：用已知向量表示未知向量时，一定要结合图形进行，以图形为指导是解题的关键．(2)向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则．向量加法的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立．(3)空间向量的坐标运算类似于平面向量．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练提醒：一般把未知向量放在一个封闭图形中，借助于加减法法则逐步地转化为已知向量，从而完成运算．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练[对点练习]如图7­6­2所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简：A1O→－12AB→－12AD→；(2)设E是棱DD1上的点，且DE→＝23DD1→，试用AB→，AD→，AA1→表示EO→.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练图7­6­2菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【解】(1)∵AB→＋AD→＝AC→，∴A1O→－12AB→－12AD→＝A1O→－12(AB→＋AD→)＝A1O→－12AC→＝A1O→－AO→＝A1A→.(2)∵EO→＝ED→＋DO→＝23D1D→＋12DB→＝23D1D→＋12(DA→＋AB→)＝23A1A→＋12DA→＋12AB→＝12AB→－12AD→－23AA1→.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练考向二共线、共面向量定理[典例剖析]【例2】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，图7­6­3菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练用向量方法求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→)．【思路点拨】(1)只要证出EG→＝EF→＋EH→即可；(2)只要证出BD→与EH→共线即可；(3)利用向量加法的平行四边形法则求解．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【解】(1)证明：连接BG，则EG→＝EB→＋BG→＝EB→＋12(BC→＋BD→)＝EB→＋BF→＋EH→＝EF→＋EH→.所以E，F，G，H四点共面．(2)证明：因为EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12(AD→－AB→)＝12BD→.所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知EH→＝12BD→，同理FG→＝12BD→.所以EH→＝FG→，即EH綊FG，菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练所以四边形EFGH是平行四边形．所以EG，FH交于一点M且被M平分．故OM→＝12(OE→＋OG→)＝12OE→＋12OG→＝12×12OA→＋OB→＋1212OC→＋OD→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→)．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练1．证明空间任意三点共线的方法对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线．(1)PA→＝λPB→.(2)对空间任一点O，OP→＝OA→＋tAB→.(3)对空间任一点O，OP→＝xOA→＋yOB→(x＋y＝1)．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练2．证明空间四点共面的方法对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面．(1)MP→＝xMA→＋yMB→.(2)对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→.(3)对空间任一点O，OP→＝xOM→＋yOA→＋zOB→(x＋y＋z＝1)．(4)PM→∥AB→(或PA→∥MB→或PB→∥AM→)．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练[对点练习]如图7­6­4所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，G为△A1BD的重心，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，试用a，b，c表示AC1→，AG→，并证明A，G，C1三点共线．图7­6­4菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【解】AC1→＝AB→＋BC→＋CC1→＝AB→＋AD→＋AA1→＝a＋b＋c.AG→＝AA1→＋A1G→＝AA1→＋13(A1D→＋A1B→)＝AA1→＋13(AD→－AA1→)＋13(AB→－AA1→)＝13AA1→＋13AD→＋13AB→＝13a＋13b＋13c.∵AC1→＝3AG→，∴A，G，C1三点共线．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练考向三空间向量的数量积及其应用[典例剖析]【例3】(1)(2014·合肥模拟)已知a＝(1,0，－1)，b＝(－1,1,2)．①a－b与a夹角的余弦值为________；②若ka＋b与a－2b平行，则k＝________；③若ka＋b与a＋3b垂直，则k＝________.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练(2)如图7­6­5所示，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.图7­6­5①求线段AC1的长；②求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；③求证：AA1⊥BD.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【思路点拨】(1)直接应用向量共线的条件及数量积的定义求解．(2)在平行六面体中，先选定三个不共面的向量为基底如AB→，AD→，AA1→.①求|AC1→|时，用AB→，AD→，AA1→把AC1→表示出来，再用|a|＝a2计算；②把AC1→，A1D→用基底表示出来，再用公式cosθ＝AC1→·A1D→|AC1→||A1D→|求夹角；③证明AA1→·BD→＝0即可．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【解析】(1)∵a＝(1,0，－1)，b＝(－1,1,2)，∴a－b＝(2，－1，－3)，ka＋b＝(k－1,1，－k＋2)，a－2b＝(3，－2，－5)，a＋3b＝(－2,3,5)．①a－b与a夹角的余弦为cos〈a－b，a〉＝a－b·a|a－b||a|＝2＋314·2＝52828＝5714.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练②由ka＋b与a－2b平行可知(k－1,1，－k＋2)＝λ(3，－2，－5)，即k－1＝3λ，1＝－2λ，－k＋2＝－5λ，解得λ＝－12，k＝－12.③由ka＋b与a＋3b垂直得(ka＋b)·(a＋3b)＝0，即(k－1,1，－k＋2)·(－2,3,5)＝0.所以－2(k－1)＋3