3.1.2二次函数实根分布

二次方程的实根分布问题一.函数零点一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x就做函数y=f(x)的零点.由此得出以下三个结论等价：方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点）内必有一个实数根。在（求证：方程1,0123xxx★一元二次方程在某个区间上有实根，求其中字母系数的问题称为实根分布问题。20(0)axbxca实根分布问题一般考虑四个方面，即：（1）开口方向（2）判别式（3）对称轴（4）端点值的符号。24bac2bxa()fm2、当x在某个范围内的实根分布)0()(2acbxaxxf212120(0),()axbxcaxxxx的两根为12(1)(xxkk为常数）02()0bkafk)0()(2acbxaxxf12(2)(kxxk为常数）02()0bkafk12(3)(xkxk为常数）()0fk112212(4)(,xkkxkk为常数）12()0()0fkfk12(5)(,,,mxnpxqmnpq为常数）()0()0()0()0fmfnfpfq112212(6)(,kxxkkk为常数）121202()0()0bkkafkfk1212(7),xxkk，有且只有一个根在（）内1k2k1k2k12()()0fkfk1202bkka(8)方程有两个不相等的正根可用韦达定理表达式来书写条件002(0)0baf()fxx1x2x01212000xxxx210xx()fxx1x2x0(9)方程有两个不相等的负根可用韦达定理表达式来书写条件002(0)0baf1212000xxxx120xx(10)方程有一正根一负根可用韦达定理表达式来书写：f(0)01200xx120xx212121212-240,11(1x)211(x1)(3)-1,3-1x3)(4)0,16,8xaxxaxxx练：已知有两个不同根x求下列条件下，实数的取值范围。（）两个根均大于（）一个根大于，一个根小于两个根均在（）之间（一个根在（）内，一个根在（）内（2）两负实根；（3）两实根均小于1；（4）两实根均大于0.5；（5）两实根均在(0,2)；（6）一正一负两实根；（7）两实根中，一根大于1，一根小于1；（8）两实根中有且只有一根在(0,2)；（9）两实根中，一根在(－2,0)，一根在(1,3)；（10）两实根中，一根在(－2,0)，一根在(0,4)；（11）一个根小于2，一个根大于4。方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。（1）两正实根作业：问题五、关于x的一元二次方程X2＋（m－3)x＋m=0有两个正根，求m的范围。21212340300(m)mxxmxxm01mm韦达定理解：设方程的两实根分别为x1、x2，则2(3-m)-4m0b3-=-02a20=m0mf()＝问题五、关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x＋m=0有两个正根，求m的范围。{m|0＜m1}xy比较两种思路，作出评价：21212340300(m)mxxmxxm2(3-m)-4m0b3-=-02a20=m0mf()＝法一：韦达定理法法二：二次函数法1、形式不同，本质一样；2、在本问题中韦达定理法更简洁。问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。（2）有两个负根9mm21212340300(m)mxxmxxm韦达定理（2）有两个负根问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。2(3-m)-4m0b3-=-02a20=m0mf()＝9mmyx（3）两个根都小于12(3)403122(1)220mmbmafm9mm问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。yx1（4）两个根都大于0.5234030522650504(m)mbm.amf(.)516mm问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。0.5xyO（5）两个根都在（0,2）内2340322002320(m)mm0f()mf()m12mm3问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。yx2O问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。（6）一个正根，一个负根0mm2123400(m)mxxm韦达定理0=m0f()0mmxy问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。（6）一个正根，一个负根（7）一个根大于1，一个根小于11mmf(1)=2m-20问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。1xy（8）两个根有且仅有一个在（0,2）内f(0)f(2)=m(3m-2)0320mm问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。O2xy（9）一个根在（-2,0）内，另一个根在（1,3）内04)3(022)1(0)0(010)2(mfmfmfmfØ问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。-2O13xy（10）一个根在（-2,0）内，另一个根在（0,4）内045)4(0)0(010)2(mfmfmf054mm问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。-2O4xy（11）一个根小于2，一个根大于4045)4(023)2(mfmf54mm问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。2O4xy.114132101)1(22，另一个根小于）一个根大于（；）两根均大于（）一正一负；（）有一个实根；（取何值时，方程：，的方程提高：关于aaxaaxx例1若方程4320xx(m)m有两个相异实根，求m的取值范围。思路：通过换元，转化为一元二次方程根的分布问题解：设t＝2x，则t∈(0,+∞)2(3)0(1)tmtm转化为方程（1）有两相异正实根，求m的取值范围。设2()(3)fttmtm，则2(3-m)-4m0b3-m-=-00m12a20=m0f()＝{m|0m1}