2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)专题研究 导数的应用

高考调研第三章导数及其应用高三数学（新课标版·理）第三章导数及其应用2013届高考一轮数学复习理科课件（人教版）高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研专题研究导数的应用高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研题型一导数与函数图像例1(2011·山东)函数y＝x2－2sinx的图像大致是()高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研【解析】y′＝12－2cosx，令y′＝0，得cosx＝14，根据三角函数的知识可知这个方程有无穷多解，即函数y＝x2－2sinx有无穷多个极值点，函数是奇函数，图像关于坐标原点对称，故只能是选项C的图像．【答案】C高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研探究1给定解析式求函数的图像是近几年高考重点，并且难度在增大，多需要利用导数研究单调性知其变化趋势，利用导数求极值(最值)研究零点．高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研思考题1(2011·安徽文)函数f(x)＝axn(1－x)2在区间[0,1]上的图像如图所示，则n可能是()A．1B．2C．3D．4高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研【解析】由函数图像可知a0，当n＝1时，f(x)＝ax(1－x)2＝a(x3－2x2＋x)，f′(x)＝a(3x－1)(x－1)，所以函数f(x)的最大值为130.5，所以A项正确；当n＝2时，函数f(x)＝ax2(1－x)2的图像关于直线x＝12对称，由图像知B项错误；当n＝3时，f(x)＝ax3(1－x)2＝a(x5－2x4＋x3)，高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研f′(x)＝ax2(5x2－8x＋3)＝ax2(5x－3)(x－1)，函数f(x)的最大值为350.5，由图像知C项错误；当n＝4时，f(x)＝ax4(1－x)2＝a(x6－2x5＋x4)，f′(x)＝a(6x5－10x4＋4x3)＝2ax3(3x－2)(x－1)，函数f(x)的最大值为230.5，由图像知D项错误．【答案】A高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研题型二导数与不等式例2(2011·陕西)设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)．(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g(1x)的大小关系；(3)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)1a对任意x0成立．高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研【解析】(1)由题设知f(x)＝lnx，g(x)＝lnx＋1x，∴g′(x)＝x－1x2，令g′(x)＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，g′(x)0，故(0,1)是g(x)的单调减区间，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间，因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g(x)的最小值为g(1)＝1.高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研(2)g(1x)＝－lnx＋x，设h(x)＝g(x)－g(1x)＝2lnx－x＋1x，则h′(x)＝－x－12x2，当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g(1x)；当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时h′(x)0，h′(1)＝0，因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减，高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研当0x1时，h(x)h(1)＝0，即g(x)g(1x)；当x1时，h(x)h(1)＝0，即g(x)g(1x)．高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研(3)由(1)知g(x)的最小值为1，所以，g(a)－g(x)1a，对任意x0成立⇔g(a)－11a，即lna1，从而得0ae.高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研探究2①本题是将不等式证明转化为求函数的最值，体现了函数与不等式之间的联系．②借助函数单调性、最值、恒成立等知识证明函数不等式是近几年高考热点．高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研思考题2(2011·辽宁)设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤2x－2.高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研【解析】(1)f′(x)＝1＋2ax＋bx.由已知条件得f1＝0，f′1＝2.即1＋a＝0，1＋2a＋b＝2.解得a＝－1，b＝3.高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则g′(x)＝－1－2x＋3x＝－x－12x＋3x.当0x1时，g′(x)0；当x1时，g′(x)0.高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研所以g(x)在(0,1)单调增加，在(1，＋∞)单调减少．而g(1)＝0，故当x0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.【答案】(1)a＝－1，b＝3(2)略高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研题型三导数与方程例3已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)在x＝1处取得极值．(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程f(x)＋2x＝x2＋b在[12，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研【解析】(1)对f(x)求导，得f′(x)＝1－1x＋a.由题意，得f′(1)＝0，即1－11＋a＝0，∴a＝0.高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研(2)由(1)得f(x)＝x－lnx，∴f(x)＋2x＝x2＋b，即x2－3x＋lnx＋b＝0.设g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x0)，则g′(x)＝2x－3＋1x＝2x2－3x＋1x＝2x－1x－1x.令g′(x)＝0，得x1＝12，x2＝1.当x变化时，g′(x)、g(x)的变化情况如下表：高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研x(0，12)12(12，1)1(1,2)2g′(x)＋0－0＋＋g(x)极大值极小值b－2＋ln2∴当x＝1时，g(x)的极小值为g(1)＝b－2.又g(12)＝b－54－ln2，g(2)＝b－2＋ln2.高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在[12，2]上恰有两个不相等的实数根，∴g12≥0，g10，g2≥0，即b－54－ln2≥0，b－20，b－2＋ln2≥0，解得54＋ln2≤b2.【答案】(1)0(2)54＋ln2≤b2高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研探究3讨论方程根的个数或函数的零点，关键根据题意，画出函数图像的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析解决．高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研思考题3(1)(2011·辽宁文)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研【解析】由原函数有零点，可将问题转化为方程ex－2x＋a＝0有解问题，即方程a＝2x－ex有解．令函数g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln2，所以g(x)在(－∞，ln2)上是增函数，在(ln2，＋∞)上是减函数，所以g(x)的最大值为：g(ln2)＝2ln2－2.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a∈(－∞，2ln2－2]．【答案】(－∞，2ln2－2)高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研(2)若函数f(x)＝x3－3ax－1，在x＝1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的范围．高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研【解析】f′(x)＝3x2－3a∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)．【答案】(－3,1)高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研题型四导数与最优化问题例4(2011·江苏理)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研【解析】设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．由已知得a＝2x，h＝60－2x2＝2(30－x)，0x30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值．高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研(2)V＝a2h＝22(－x3＋30x2)，V′＝62x(20－x)．由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′0；当x∈(20,30)时，V′0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时ha＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.【答案】(1)15(2)2012高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研探究4生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题称之为优化问题．导数是解决生活中优化问题的有力工具，用导数解决优化问题的基本思路是：优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的答案．高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研思考题4(2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2.其中3x6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研【解析】(1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)[2x－3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2,3x6.高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减高考调研高三数学（新课标版·理）第三章专题研究高考调研由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最