20170302-段广猛-《面积问题之”水平宽、铅锤高“模型的实战分析》

勤奋是一种品质，优秀是一种习惯第1页共6页三角形面积问题之“宽高公式”的实战分析高邮市赞化学校段广猛《三角形面积问题之“宽高公式”的两种证明方法》一文中，主要介绍了三种情形下“宽高公式”模型的证明.如图1、图2、图3所示，12ABCSOCAD，其中OC表示B、C两点在水平方向上的距离，简称这个三角形的“水平宽”；而AD表示点A到边BC在竖直方向上的距离，简称这个三角形的“铅锤高”.于是三角形的面积S=12水平宽铅锤高，这个公式不妨称为“宽高公式”.细心观察上面三种情形，操作方式都是过点A作平行于y轴的直线交边BC所在的直线于点D，则AD就是“铅锤高”；而B、C两点之间的水平距离，即线段OC就是“水平宽”.在实际应用中，笔者不建议学生固化思维，强记这里的结论而直接使用.一方面，这个公式课本上并没有直接出现，中考时能不能直接使用值得商榷；另一方面，对于图2的结论，大部分学生普遍可以接受，但是若是不知道这个公式推导的来龙去脉而强行直接使用，图1及图3的结论，多数学生是很难理解原理而导致不能正确使用.更何况，这三种情形下的推导过程也是相辅相成、思想统一的，都采用了“改斜归正”及“割补法”的思想，而这两种思想方法又是极其重要的解题原理，需要同学们认真深刻体会的，所以笔者强烈建议学生体会这里的推导原理，以达到灵活使用的目的.勤奋是一种品质，优秀是一种习惯第2页共6页其实，掌握了原理，怎么割补三角形都可以，只要过三角形的三个顶点中的任意一点作平行于坐标轴的直线都可以实现面积处理，仅仅是繁简程度不一而已，下文会一一提及.如图4、图5、图6所示，12ABCSBDAE，其中BD表示点B到边AC在水平方向上的距离，简称这个三角形的“水平宽”；而AE表示A、C两点在竖直方向上的距离，简称这个三角形的“铅锤高”.于是依然有三角形的面积S=12水平宽铅锤高.这三张图的操作方式都是过点B作平行于x轴的直线交边AC所在的直线于点D，则BD就是“水平宽”；而A、C两点之间的竖直距离，即线段AE就是“铅锤高”.实际上，过点C作平行于坐标轴的直线，无论是平行于x轴，还是平行于y轴，最终都可以实现对于此三角形的面积处理，有时是“割”，即“面积加法”；有时是“补”，即“面积减法”.由此可以看出，不用强记公式，只要过三角形的三个顶点中的任意一点作平行于坐标轴的直线，无论是平行于x轴，还是平行于y轴，都可以实现面积处理.图7提供了一种方式，12ABCSCDAE.勤奋是一种品质，优秀是一种习惯第3页共6页那么问题来了，割补方式千变万化，而且好像都可行，在解题实战中，难道就随意割补吗？非也！理论上是都可行，但计算量绝不相当！我们知道，“在变化中抓不变量”也是一种重要的思想方法，“以不变应万变”.此时再结合这个解题策略，就可以使计算过程“如履平地”.在三角形三个顶点中，一般情况下会有两个定点和一个动点，抓住这两个定点就是关键所在.如图8或图9所示，点B和点C是两个定点，而点A是一个动点.这时，我们就应该过动点A作平行于y轴或者平行于x轴的直线交直线BC于点D，利用B、C两个定点求出直线BC的解析式，再设出动点A的坐标，将横坐标或者纵坐标代入直线BC的解析式，表示出点D的坐标，进而容易表示出线段AD.在图9中，ABCACDABDSSS=12ADCF11(CF)22ADBEADBE1(OE)2ADBE12ADOB，因为B、C都是定点，故OB是常值，而且直线BC的解析式易求，进而AD的长度好表示.若是你“不信邪”，偏偏如图10所示那样“割补”，我想说“此路依然行得通”，但与前面的两种方法相比，一烦在“水平宽”BD上，需要求出直线AC的解析式，理论上肯定行得通，这条直线的解析式会因为点A是动点而导致含有参数，计算量较大；二烦在“铅锤高”AE上，也是因为点A是动点而导致含有参数.“罪魁祸首”都在动点A上，而“元凶”就是因为一开始过定点B进行了“割补”.需要特别说明的是，这种方法并非是错误的，仅仅是计算量较大些，其操作依然是可行的.下面以2016年苏州中考压轴题第（2）问为例具体谈谈“宽高公式”的使用.勤奋是一种品质，优秀是一种习惯第4页共6页（2016•苏州）如图11，直线l：y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值.对于第（1）小问，易知该抛物线的函数表达式为：y=-x2+2x+3；对于第（2）小问，这是一个“两定一动型”三角形面积问题，“死咬”A、B两定点“不松口”，过动点M作平行于坐标轴的直线进行“割补”即可，这里提供两种方式.方式一：如图12所示，过动点M作平行于y轴的直线交边AB所在的直线于点N，则ABMMNBMNASSS=12MNOG11(OG)22MNAGMNAG12MNOA.设M（t，-t2+2t+3），其中t的取值范围是0＜t＜3，则N（t，-3t+3），从而MN=MNyy=（-t2+2t+3）-（-3t+3）=-t2+5t，而OA=1，故S=12（-t2+5t）=-12t（t-5），当t=52时，S有最大值为258.值得一提的是，上面的操作过程可总结如下：第一步：抓住两个定点A和B，它们之间在水平方向上的距离OA作为△ABM的“水平宽”；第二步：过动点M作平行于y轴的直线交边AB所在的直线于点N，则MN作为△ABM的“铅锤高”；第三步：将面积“往竖直线MN上靠”，通过面积“减法”，得到所求三角形的面积为12ABMSMNOA.方式二：如图13所示，过动点M作平行于x轴的直线交边AB所在的直线于点N、交y轴于点G，则ABMMNBMNASSS=12MNBG11(BGO)22MNOGMNG12MNOB.设M（t，-t2+2t+3），其中t的取值范围是0＜t＜3，则N（223tt，-t2+2t+3），从而MN=MNxxt-223tt=253tt，而OB=3，故S=122533tt=-12t（t-5），当t=52时，S有最大值为258.勤奋是一种品质，优秀是一种习惯第5页共6页上面的操作过程可总结如下：第一步：抓住两个定点A和B，它们之间在竖直方向上的距离OB作为△ABM的“铅锤高”；第二步：过动点M作平行于x轴的直线交边AB所在的直线于点N，则MN作为△ABM的“水平宽”；第三步：将面积“往水平线MN上靠”，通过面积“加法”，得到所求三角形的面积为12ABMSMNOB.至此，这个“两定两动型”三角形面积问题，利用“宽高公式”得到了比较完美的解答.当然，关于面积处理，绝不仅仅只有“宽高公式”，还有很多其他的路可走，如“框图法”（亦可称“矩形大法”）、其他的割补法（如上题中连接OM也是一种很好的分割处理手段）等等，但大多体现出来的思想方法都是“大同小异”的，即想方设法将所求“斜面积”“改斜归正”，使问题得以解决.后面若有机会，会专门成文，敬请期待！通过前面的《模型证明》及本文的《实战分析》，笔者认为根本不用记忆所谓的“宽高公式”，只要在处理面积的问题中，狠抓不动点不放手，过动点作平行于坐标轴的直线交这不动边所在的直线于一点，将三角形的面积进行“割”或“补”，即面积“加”或“减”，然后平移其中一条高线，即可转化为高线的“加”或“减”，就能够得出所谓的“宽高公式”！这道苏州中考真题中有一个限制条件“点M在第一象限内”，很明显是为了简化起见.若是将这个条件去掉，即“点M是抛物线上任意一动点”，那么△ABM的面积为S关于m的函数表达式又如何求解呢？我想其他的方法就未必恰当了，这时“宽高法”的作用会更明显.图14及图15给出了两种情形，前者可看出此时方法过程跟原题一模一样；而后者可看出唯一的区别就是点N位于了点M的上方，此时MN=NMyy，其他都没变化勤奋是一种品质，优秀是一种习惯第6页共6页也就是这时候要分类了，分类的标准就是M、N“谁高谁低”，可分三类，也可分两类.甚至于，结合本人作品《巧用绝对值避开“繁琐的”分类讨论》一文，直接借用“绝对值”，将MN表示为MNyy即可，最后解一个含绝对值的方程就可以了，在此不再一一赘述，有兴趣的同学可自行展开.同学们，研究之窗已向你们打开，还有什么道理不去认真钻研、琢磨呢！加油，中考必胜！最后来首打油诗结束本文，“横切竖切都可以，切法不一莫强求；关键抓住不动点，最好沿着动点切；切完之后即加减，加减之后即宽高！”