直线系方程

直线系方程1.定义:具有某种共同属性的所有直线的集合2..类型3.应用(1)求直线的方程(2)直线恒过定点问题的证明(3)灵活变换1.与直线L：Ax+By+C=0平行的直线系方程为：Ax+By+λ=0（其中λ≠C）；直线系方程的种类(一):yox2．与直线L：Ax+By+C=0垂直的直线系方程为:Bx-Ay+λ=0（λ为待定系数）.yxo直线系方程的种类(二):3.过定点P（x0，y0）的直线系方程为：A(x-x0)+B(y-y0)＝0yxo推导：设直线的斜率为BA)xx(BAyy00A(x-x0)+B(y-y0)＝0请问:斜率不存在的情况如何?yox4.已知直线l1、l2：A1x＋B1y＋C1=0，A2x＋B2y＋C2=0，那么方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)=0表示直线l3，简记为l1＋λl2=0，则当l1∩l2=P时，l3为过交点P的直线系，当l1∥l2时，l3为与l1、l2平行的平行线系(λ为参数)例1:求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点，且满足下列条件的直线L的方程。(1)过点(2,1)(2)和直线3x-4y+5=0垂直。解（1）：设经二直线交点的直线方程为：0)2yx(4y2x代（2，1）入方程，得：0)212(4224故所求直线的方程为：3x+2y+4=0直线系方程的应用(一)（2）：将（1）中所设的方程变为：0)24(y)2(x)1(解得：21k由已知：143*2111故所求得方程是：4x+3y-6=0归纳:本题采用先用直线系方程表示所求直线方程,然后再列式,求出方程的待定常数,从而最终求得问题的解.这种方法称之为待定系数法,在已知函数或曲线类型问题中,可以利用待定系数法来求解.例2.求证：无论m取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求出定点的坐标。解法(一)：将方程变为：0)1yx(m11y3x01yx011y3x解得：即：25y27x故直线恒过25,27直线系方程的应用(二)解法(二)：令m=1，m=-3代入方程，得：014x4010y425y27x解得：所以直线恒过定点25,27若证明一条直线恒过定点或求一条直线必过定点，通常有两种方法：方法归纳：法二：从特殊到一般，先由其中的两条特殊直线求出交点，再证明其余直线均过此交点。法一:分离系数法，即将原方程改变成：f(x,y)+mg(x,y)=0的形式，此式的成立与m的取值无关，故从而解出定点。随堂演练已知直线分别满足下列条件，求直线的方程：______:09-2yx032y-x.1的直线方程是的交点和原点和过两直线______:04y2-x3,02-4yx30103y-x2.2的直线是且垂直于直线的交点和过两直线______:07y3-x4,012yx08yx2.3的直线是且平行于直线的交点和过两直线______:,02y-x332xy.4直线方程是且垂直于第一条直线的的交点和过两直线y=x2x+3y-2=04x-3y-6=0x+2y-11=05．若直线方程为(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5=0求证：无论m为何值时，所给直线恒过定点。解:将方程化为:05218)-3ym(2xyx得:05201832yxyx解得:2/94yx所以无论m为何值,直线均经过定点(4,9/2)思考:两条直线方程相乘可以构成一个二元二次方程,如:L1:x+2y-1=0,L2:x-y=0,相乘后就得:x2+xy-2y2-x+y=0那么,反过来,如果已知一个二元二次方程是由两条直线的方程相乘所得,我们也可以先设出这两条直线的方程,再利用待定系数法求出它们.请看下面的例子:例3:问k为何值时，方程3x2+2xy-y2+7x-5y+k=0表示两条直线？解（待定系数法）：将方程化作：0k)y5x7()yx)(yx3(设：0)nyx)(myx3(则0mn)nm(y)n3m(x)yx)(yx3(所以：kmn5nm7n3m解得：632mnknm即：k=-6时,方程表示两条直线。1．方程x2-y2=0表示的图形是：————2．直线系6x-4y+m=0中任一条直线与直线系2x+3y+n=0中的任一条直线的位置关系是_______.思考题0y-x0yx与二相交直线垂直拓展提升1.方程表示两条直线，求m的取值范围.2.求过两直线x＋3y－10=0和y=3x的交点，并且与原点距离为1的直线方程.3.已知直线l1：2x－3y＋1=0和l2：x＋4y＋5=0，平行于直线l3：2x－y=0的直线分别与直线l1，l2相交于A、B，求把交点间的线段分成定比λ=3的点的轨迹方程.036myxyx: