【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第6章 第3节 基本不等式课件 理 苏教版

固基础·自主落实提知能·典例探究课后限时自测启智慧·高考研析第三节基本不等式考纲传真要求内容ABC基本不等式√1．基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件ab≤a＋b22.算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数．a≥0，b≥0a＝bab不小于3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)．那么当时，x＋y有最小值2P.(简记：“积定和最小”)(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)．那么当x＝y时，xy有最大值S24.(简记：“和定积最大”)4．常用不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R)；(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)；(3)a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)；(4)ba＋ab≥2(a，b同号)．x＝y2ab1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(2)ab≤a＋b22成立的条件是ab0.()(3)函数f(x)＝cosx＋4cosx，x∈0，π2的最小值等于4.()(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．()[解析](1)当x0时，最小值为2；当x0时，没有最小值，故(1)错误．(2)不等式始终成立，故(2)错误．(3)若f(x)的最小值为4，必有cosx＝2，故(3)错误．(4)正确．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)设x0，y0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．[解析]xy≤x＋y22＝1822＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立．[答案]813．已知t0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．[解析]∵t0，∴y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时等号成立．[答案]－24．(2014·浙江高考)已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________．[解析]因为a＋b＋c＝0，所以b＋c＝－a.因为a2＋b2＋c2＝1，所以－a2＋1＝b2＋c2＝(b＋c)2－2bc＝a2－2bc，所以2a2－1＝2bc≤b2＋c2＝1－a2，所以3a2≤2，所以a2≤23，所以－63≤a≤63.所以amax＝63.[答案]635．已知x0，y0，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为______．[解析]∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3，当且仅当x3＝y4时取等号．[答案]3考向1利用基本不等式求最值(高频考点)命题视角基本不等式是不等式中的重要内容，也是高考的常考内容，主要出题角度有：(1)利用基本不等式求最值；(2)已知最值求其中的参数．【典例1】(1)(2014·重庆高考改编)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是________．(2)(2013·四川高考)已知函数f(x)＝4x＋ax(x0，a0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.[思路点拨](1)化简对数方程，得到含a，b的等式，利用1的灵活代换求出a＋b的最小值．(2)利用基本不等式及等号成立的条件，结合已知求出a.[解析](1)由题意得ab0，ab≥0，3a＋4b0，所以a0，b0.又log4(3a＋4b)＝log2ab，所以log4(3a＋4b)＝log4ab，所以3a＋4b＝ab，故4a＋3b＝1.所以a＋b＝(a＋b)4a＋3b＝7＋3ab＋4ba≥7＋23ab·4ba＝7＋43，当且仅当3ab＝4ba时取等号．(2)f(x)＝4x＋ax≥24x·ax＝4a(x0，a0)，当且仅当4x＝ax，即x＝a2时等号成立，此时f(x)取得最小值4a.又由已知x＝3时，f(x)min＝4a，∴a2＝3，即a＝36.[答案](1)7＋43(2)36【通关锦囊】1．利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．【变式训练1】(1)(2012·浙江高考改编)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．(2)若函数f(x)＝x＋1x－2(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝________.[解析](1)由x＞0，y＞0，且x＋3y＝5xy，得35x＋15y＝1.∴3x＋4y＝(3x＋4y)35x＋15y＝135＋3x5y＋12y5x≥135＋23x5y·12y5x＝5，当且仅当x＝2y＝1时，等号成立．∴3x＋4y的最小值为5.(2)∵x＞2，∴x－2＞0，∴f(x)＝x＋1x－2＝(x－2)＋1x－2＋2≥2x－2·1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2(x＞2)，即x＝3时等号成立，∴a＝3.[答案](1)5(2)3考向2利用基本不等式证明简单不等式【典例2】已知a0，b0，a＋b＝1，求证：(1)1a＋1b＋1ab≥8；(2)1＋1a1＋1b≥9.[解](1)1a＋1b＋1ab＝21a＋1b，∵a＋b＝1，a0，b0，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ab＋ba≥2＋2＝4，∴1a＋1b＋1ab≥8(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．(2)法一：∵a0，b0，a＋b＝1，∴1＋1a＝1＋a＋ba＝2＋ba，同理1＋1b＝2＋ab，∴1＋1a1＋1b＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.∴1＋1a1＋1b≥9(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．法二：1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋1ab，由(1)知，1a＋1b＋1ab≥8，故1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋1ab≥9.【规律方法】1．“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．【变式训练2】已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.[证明]∵a＞0，b＞0，c＞0，∴bca＋cab≥2bca·cab＝2c；bca＋abc≥2bca·abc＝2b；cab＋abc≥2cab·abc＝2a.以上三式相加得：2bca＋cab＋abc≥2(a＋b＋c)，故bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.考向3基本不等式的实际应用【典例3】(2014·泰州模拟)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝13x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋10000x－1450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？[解](1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，依题意得：当0x80时，L(x)＝(0.05×1000x)－13x2－10x－250＝－13x2＋40x－250.当x≥80时，L(x)＝(0.05×1000x)－51x－10000x＋1450－250＝1200－x＋10000x.所以L(x)＝－13x2＋40x－2500x80，1200－x＋10000xx≥80.(2)当0x80时，L(x)＝－13(x－60)2＋950.此时，当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元．当x≥80时，L(x)＝1200－x＋10000x≤1200－2x·10000x＝1200－200＝1000.此时，当x＝100时，L(x)取得最大值1000万元．由于9501000，所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．【规律方法】解实际应用题要注意以下几点：1．设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．【变式训练3】(2014·南京摸底测试)近年来，某企业每年消耗电费24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网．安装这种供电设备的费用(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：m2)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：m2)之间的函数关系是C(x)＝k20x＋100(x≥0，k为常数)．记F(单位：万元)为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与15年所消耗的电费之和．(1)试解释C(0)的实际意义，并写出F关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，F取得最小值？最小值是多少？[解](1)由题意得C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装太阳能供电设备时该企业每年消耗的电费．由C(0)＝k100＝24得k＝2400.因此F＝15·k20x＋100＋0.5x＝1800x＋5＋x2，x≥0.(2)由(1)知，F＝1800x＋5＋x2＝1800x＋5＋x＋52－52≥21800x＋5·x＋52－52＝1152.当且仅当1800x＋5＝x＋52，即x＝55时取等号．所以当x＝55时，F取得最小值为57.5万元.切记2个变形1.a2＋b22≥a＋b22≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；2.a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a0，b0，当且仅当a＝b时取等号)．勿忘3点注意1.使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可．2.在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．3.多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能够保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．创新探究之10几何背景下的基本不等式求最值问题(2012·湖南高考改编)已知两条直线l1：y＝m和l2：y＝82m＋1(m0)，l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，ba的最小值为______．[解析]由m＝|log2x|，得xA＝12m，xB＝2m.同理，xC＝1282m＋1，xD＝282m＋1.∴a＝|xA－xC|＝12m－1282m＋1，b＝|xB－xD|＝|2m－282m＋1|.∴ba＝2m－282m＋12－m－2－82m＋1＝282m＋1·2m＝282m＋1＋m.∵82m＋1＋m＝12(2m＋1)＋82m＋1－12≥2122m＋1×82m＋1－12＝72，当2m＋12＝82m＋1，即m＝32时取等号．∵m＞0，∴m＝32符合题意．∴b