2013高考数学一轮复习课件-定积分与微积分基本定理(理)

12[备考方向要明了]考什么1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.3怎么考本部分主要有两种题型，一是定积分的计算，二是用定积分求平面图形的面积．高考中，多以选择题或填空题的形式考查定积分的概念和计算以及曲边梯形面积的求法，难度较小.453.abf(x)dx＝(其中a＜c＜b)．一、定积分的性质1.abkf(x)dx＝；kabf(x)dx(k为常数)2.ab[f(x)±g(x)]dx＝；abf(x)dx±abg(x)dxcbf(x)dxacf(x)dx+6二、定积分的几何意义1．当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分abf(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．72．一般情况下，定积分∫baf(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a、x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(图(2)中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．83.微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)．那么abf(x)dx＝．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，常把F(b)－F(a)记作，即abf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．F(b)－F(a)F(x)|ba9三、定积分的应用1．平面图形的面积：一般地，设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b所围成的平面图形的面积为S，则S＝(f(x)g(x))．2．简单几何体的体积若几何体由曲线y＝f(x)与x轴所围成的区域绕x轴旋转一周得到，则其体积为V＝.∫baf(x)dx－∫bag(x)dx∫baπ[f(x)]2dx10111．计算∫10x2dx＝()A.14B.13C.12D．1解析：∫10x2dx＝13x3|10＝13×1－13×0＝13.答案：B122．求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是()A．S＝∫10(x2－x)dxB．S＝∫10(x－x2)dxC．S＝∫10(y2－y)dyD．S＝∫10(y－y)dy答案：B133．(2011·福建高考)∫10(ex＋2x)dx等于()A．1B．e－1C．eD．e＋1解析：∫10(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|10＝(e1＋1)－e0＝e.答案：C144．(教材习题改编)已知函数f(x)＝x2－2x－3，则∫1－1f(x)dx＝________.解析：∫1－1f(x)dx＝∫1－1(x2－2x－3)dx＝13x3－x2－3x|1－1＝－163.答案：－163155．如果∫10f(x)dx＝1，∫20f(x)dx＝－1，则∫21f(x)dx＝________.解析：∵∫20f(x)dx＝∫10f(x)dx＋∫21f(x)dx，∴∫21f(x)dx＝∫20f(x)dx－∫10f(x)dx＝－1－1＝－2.答案：－21617利用微积分基本定理(即牛顿—莱布尼兹公式)求定积分，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数f(x)的原函数F(x)，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数四则运算法则从反方向上求出F(x)．1819[精析考题][例1](2011·陕西高考)设f(x)＝lgx，x＞0，x＋∫a03t2dt，x≤0，若f(f(1))＝1，则a＝________.20[自主解答]显然f(1)＝lg1＝0，f(0)＝0＋∫a03t2dt＝t3|a0＝1，得a＝1.[答案]121[例2](2012·西安模拟)设f(x)＝x2，x∈[0，1]，1x，x∈1，e]，(e为自然对数的底数)，则∫e0f(x)dx的值为________．[自主解答]∫e0f(x)dx＝∫10x2dx＋∫e11xdx＝13x3|10＋lnx|e1＝13＋lne＝43.[答案]4322本例中f(x)改为f(x)＝ex，x∈[0，1]1x，x∈1，e].再求∫e0f(x)dx的值．23解：∫e0f(x)dx＝∫10exdx＋∫e11xdx＝ex|10＋lnx|e1＝e－1＋lne－ln1＝e.24[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·齐齐哈尔调研)计算∫π0(sinx－cosx)dx＝________.解析：∫π0(sinx－cosx)dx＝∫π0sinxdx－∫π0cosxdx＝(－cosx)|π0－sinx|π0＝2.答案：2252．(2012·石家庄模拟)∫20|1－x|dx＝________.解析：若1－x≥0，则x≤1，若1－x0，则x1，于是∫20|1－x|dx＝∫10(1－x)dx＋∫21(x－1)dx＝x－12x2|10＋12x2－x|21＝1.答案：126[冲关锦囊]计算一些简单的定积分，解题的步骤是：①把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；②把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；③分别用求导公式找到一个相应的原函数；④利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；⑤计算原始定积分的值.27[精析考题][例3](2011·新课标全国卷)由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A.103B．4C.163D．628[自主解答]由y＝x及y＝x－2可得，x＝4，所以由y＝x及y＝x－2及y轴所围成的封闭图形面积为∫40(x－x＋2)dx＝23x32－12x2＋2x|40＝163.[答案]C29[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)3．(2012·威海模拟)曲线y＝sinx(0≤x≤π)与直线y＝12围成的封闭图形的面积是()A.3B．2－3C．2－π3D.3－π330解析：由sinx＝12与0≤x≤π得x＝π6或5π6，所以曲线y＝sinx(0≤x≤π)与直线y＝12围成的封闭图形的面积是S＝566sinxdx－12×5π6－π6＝－cosx566－π3＝－cos5π6－－cosπ6－π3＝3－π3.答案：D314．(2012·合肥模拟)计算∫101－x2dx＝________.解析：令y＝1－x2，则y2＝1－x2(y≥0)，∴x2＋y2＝1(y≥0)，其图形为在x轴上方的半圆，如图，则∫101－x2dx的值为阴影部分的面积，所以所求值为14×π×12＝π4.答案：π432[冲关锦囊]利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．(4)计算定积分，写出答案.33[精析考题][例4](2011·广州模拟)物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A．3B．4C．5D．634[自主解答]因为物体A在t秒内行驶的路程为∫t0(3t2＋1)dt，物体B在t秒内行驶的路程为∫t010tdt，所以∫t0(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)|t0＝t3＋t－5t2＝5⇒(t－5)(t2＋1)＝0，即t＝5.[答案]C35[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)5．(2011·唐山一模)设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位：m，力的单位：N)．36解析：变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为W＝∫101F(x)dx＝∫101(x2＋1)dx＝13x3＋x|101＝342(J)．答案：34237[冲关锦囊]利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．3839易错矫正因定积分计算问题致误40[考题范例](2011·湖南高考)由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()A.12B．1C.32D.341[失误展板]错解：因33cosxdx＝－sinx33＝－3.错因：原函数sinx和被积函数cosx位置颠倒致误．42[正确解答]结合函数图像可得所求的面积是定积分33cosxdx＝sinx33＝3.答案：D43点击此图进入