高中数学必修5第2章 第3节 第1课时等差数列的前n项和

上一页返回首页下一页阶段一阶段二阶段三学业分层测评2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和上一页返回首页下一页1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.难点2.掌握等差数列前n项和公式及其应用.重点3.能灵活应用等差数列前n项和的性质解题.难点、易错点上一页返回首页下一页[基础·初探]教材整理等差数列的前n项和阅读教材P42～P44例2，完成下列问题．1．数列的前n项和的概念一般地，称为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝.a1＋a2＋…＋ana1＋a2＋…＋an上一页返回首页下一页2．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝Sn＝na1＋nn－12dna1＋an2上一页返回首页下一页1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()A．13B．35C．49D．63【解析】a2＋a6＝a1＋a7＝14，∴S7＝7a1＋a72＝49.【答案】C上一页返回首页下一页2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn＝.上一页返回首页下一页【解析】因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋nn－12×1＝2n＋n2－n2＝n2＋n2＝nn＋12.【答案】nn＋12上一页返回首页下一页3．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝.【解析】由S10＝10a1＋a102＝120，得a1＋a10＝24.【答案】24上一页返回首页下一页4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则数列{an}的通项公式an＝.【导学号：05920027】上一页返回首页下一页【解析】当n＝1时，a1＝S1＝3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－(n－1)2－2(n－1)＝2n＋1.因为n＝1时，a1＝3，也满足an＝2n＋1，所以an＝2n＋1.【答案】2n＋1上一页返回首页下一页[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________疑问3：______________________________________________________解惑：_______________________________________________________上一页返回首页下一页[小组合作型]裂项求和法已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.上一页返回首页下一页【精彩点拨】(1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出an及Sn；(2)由(1)求出bn的通项公式，再根据通项公式的特点选择求和的方法．上一页返回首页下一页【自主解答】(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意可得a1＋2d＝7，a1＋4d＋a1＋6d＝26，解得a1＝3，d＝2，所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1；Sn＝3n＋nn－12×2＝n2＋2n.上一页返回首页下一页(2)由(1)知an＝2n＋1，所以bn＝1a2n－1＝12n＋12－1＝14·1nn＋1＝14·1n－1n＋1，所以Tn＝141－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝141－1n＋1＝n4n＋1，即数列{bn}的前n项和Tn＝n4n＋1.上一页返回首页下一页裂项相消法求和就是将数列的每一项拆成两项或多项，使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的.,常用裂项技巧有：11nn＋k＝1k1n－1n＋k；2若{an}为等差数列，公差为d，,则1an·an＋1＝1d1an－1an＋1；31n＋k＋n＝1kn＋k－n等.上一页返回首页下一页[再练一题]1．等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1nan，求数列{bn}的前n项和Sn.【导学号：05920028】上一页返回首页下一页【解】(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.因为a7＝4，a19＝2a9，所以a1＋6d＝4，a1＋18d＝2a1＋8d.解得a1＝1，d＝12，所以{an}的通项公式为an＝n＋12.(2)因为bn＝2nn＋1＝2n－2n＋1，所以Sn＝21－22＋22－23＋…＋2n－2n＋1＝2nn＋1.上一页返回首页下一页等差数列前n项和公式的实际应用某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？上一页返回首页下一页【精彩点拨】因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列．工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程．上一页返回首页下一页【自主解答】从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．上一页返回首页下一页1．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.上一页返回首页下一页[再练一题]2．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为米．上一页返回首页下一页【解析】假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋9×82×20＋10×20＋10×92×20＝2000(米)．【答案】2000上一页返回首页下一页[探究共研型]等差数列的前n项和公式推导探究1如图2­3­1，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？原来有多少根钢管？图2­3­1上一页返回首页下一页【提示】在原来放置的钢管中，从最上面一层开始，往下每一层的钢管数分别记为a1，a2，…，a6，则数列{an}构成一个以a1＝4为首项，以d＝1为公差的等差数列，设此时钢管总数为S6，现再倒放上同样一堆钢管，则这堆钢管每层有a1＋a6＝a2＋a5＝a3＋a4＝…＝a6＋a1＝13(根)，此时钢管总数为2S6＝(a1＋a6)×6＝13×6＝78(根)，原来钢管总数为S6＝a1＋a62×6＝39(根)．上一页返回首页下一页探究2通过探究1，你能推导出等差数列{an}的求和公式吗？【提示】Sn＝a1＋a2＋…＋an，①把数列{an}各项顺序倒过来相加得Sn＝an＋an－1＋…＋a2＋a1，②①＋②得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)，则Sn＝a1＋ann2.上一页返回首页下一页探究3你能用a1，d，n表示探究2中的公式吗？该结果与Sn＝a1＋ann2有什么区别与联系．上一页返回首页下一页【提示】Sn＝a1＋ann2＝[a1＋a1＋n－1d]n2＝a1n＋nn－1d2，即Sn＝a1n＋nn－1d2.该公式是由探究2中的公式推导得出，都是用来求等差数列的前n项和，在求解时都可以“知三求一”，求Sn时，都需知a1，n，不同在于前者还需知an，后者还需知d.上一页返回首页下一页已知等差数列{an}中，(1)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d；(2)S5＝24，求a2＋a4.【精彩点拨】由等差数列的前n项和公式及通项公式列方程组求解即可，同时注意等差数列性质的应用．上一页返回首页下一页【自主解答】(1)由Sn＝na1＋an2＝n－512＋12＝－1022，解之得n＝4.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解之得d＝－171.(2)法一设等差数列的首项为a1，公差为d，则S5＝5a1＋55－12d＝24，即得5a1＋10d＝24，∴a1＋2d＝245.a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2×245＝485.上一页返回首页下一页法二由S5＝5a1＋a52＝24，得a1＋a5＝485.∴a2＋a4＝a1＋a5＝485.上一页返回首页下一页1．在等差数列的通项公式和前n项和公式中共涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，其中首项a1和公差d为基本量，且“知三求二”．2．求解过程中注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．上一页返回首页下一页[再练一题]3．在等差数列{an}中．(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；(2)已知a3＋a15＝40，求S17.【导学号：05920029】上一页返回首页下一页【解】(1)S5＝5a1＋5×42d＝5，a6＝a1＋5d＝10，解得a1＝－5，d＝3.∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S10＝10a1＋10×92d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(2)S17＝17×a1＋a172＝17×a3＋a152＝17×402＝340.上一页返回首页下一页[构建·体系]上一页返回首页下一页1．(2014·福建高考)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8B．10C．12D．14【解析】由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋3×22×d＝12，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C.【答案】C上一页返回首页下一页2．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A．5B．7C．9D．11上一页返回首页下一页【解析】法一∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝5a1＋a52＝5a3＝5，故选A.法二∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，∴S5＝5a1＋5×42d＝5(a1＋2d)＝5，故选A.【答案】A上一页返回首页下一页3.在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝.【解析】S19＝19a1＋a192＝19·2a102＝19a10＝190.【答案】190上一页返回首页下一页4．记