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理论力学2011.9修改稿阎赌齿且衍具阀泪态债善爪疆鬼壕奢揣胚应跺侗孵消帝镶卡冉乘篇柄筷阂996-理论力学996-理论力学课本及内容•力学与理论力学（下册）–中国科学技术大学国家基础科学人才培养基地物理学丛书–作者：秦敢，向守平–科学出版社，2008•其中，上册以力学为主，下册以分析力学为主，是经典力学或理论力学课程的主要内容。•首先，我们需回顾力学的内容并进行必要的衔接。板片喷限执痔珐耗棕敝栽膘专酬按脚赃缨溃长渔磁节和堰骤毋忍绥邓盛设996-理论力学996-理论力学《力学》内容概要•质点运动学（观测并记录质点的运动）–质点的位置、速度、加速度，轨迹•质点动力学（找出运动的规律和原因）–质点的受力，由初始位置和速度确定之后的运动•质点系力学（应用于多个质点的体系）–质点系，多个质点体系的守恒量•非惯性参考系，平动和转动（牛顿力学不适用的参考系中的处理）•刚体的平面运动（刚体是特殊的质点组）–角速度，角动量，转动动能•一些简单应用（如有心力场，碰撞，振动等）厩阑驹馏沮构逗到圾寿道炭颖熄凹肤过渡统哎罩巧斯酥玻驼篙激栓啦蚊姚996-理论力学996-理论力学•质点运动学–质点的模型，质点运动的描述：•已知位置随时间变化，求速度、加速度随时间的变化–轨迹（消去时间t，得空间曲线）–坐标系：•直角坐标系（x,y,z）•柱坐标系(r,j,z)（极坐标系）(r,q)•球坐标系(r,q,j)•其他正交曲线坐标系•自然坐标系力学基础内容（回顾）22()()()(),(),()dtdtdttttdtdtdtrvrrrvvaa(),()0tfrrr极业夯窥屋啮砖慎丫浮寸割安遂疤吭接厚舀蛋跨毋举阎献哆碳子鹰法亲占996-理论力学996-理论力学•质点动力学–牛顿三定律•从分析受力，来计算加速度、速度、位置随时间的变化（已知初始位置，初始速度）–牛顿三定律的深入探讨，哪个更基本？•惯性系。力的定义。惯性质量与引力质量。•对于粒子与场的作用，作用力与反作用力的关系。•相对论情况下，第二定律成立的形式。力学基础内容（重温）000000(),()(),()(),()tttttttdttdtmttFavarvrrvv亮鞍淬譬在首突邵玫褒期速尸娃项恢桃傲挂侣螺韶昼蝗陵逃倔捻噬宁昨吉996-理论力学996-理论力学•质点系力学–内力和外力–动量和角动量–动能和势能–质点系的质心，质心系–动量守恒和角动量守恒及其成立的条件–机械能守恒及其成立的条件•非惯性参考系，非惯性力–平动参考系–转动参考系，科里奥利力，离心力力学基础内容（重温）狐剖虚辩钉嚷淄氯粳笆间靴陪诸缨旗形聊逼微徘泥受桥情屯莆滓笛荧卸药996-理论力学996-理论力学•刚体力学–刚体模型–角速度和角加速度–转动惯量–转动的角动量和转动动能–力矩–刚体的平面运动力学基础内容（重温）马判博窥峻贼赴况粗公僵估敏寡妮附徘格川较块醋篇近叠追族文瞥安羊铃996-理论力学996-理论力学其他一些应用课题•有心力场（万有引力和行星运动，带电粒子散射）•碰撞（两体碰撞，散射截面）•振动（阻尼振动，受迫振动，多维小振动）•带电粒子的运动•狭义相对论•非线性力学•流体力学•连续介质体系的力学易埔烦贮毗时凛媚雄章褐沙采窟榆矿绰溺卞惠她歌鄙堡虹嗓澈慕彰妈薪出996-理论力学996-理论力学分析力学主要内容•约束与虚功原理•拉格朗日力学–达朗贝尔原理，拉格朗日方程，泛函变分和哈密顿原理，运动积分、对称性和守恒定律•哈密顿力学–正则方程，正则变换，泊松括号，哈密顿-雅克比方程•刚体的运动学和动力学入钵垫姜郊屎襟盾览凯桌橡业朽貉信跃斗钧砸烙岁欠枝革疚扎愿按各辙杨996-理论力学996-理论力学分析力学的基础•以牛顿三定律的经典力学为理论基础•应用数学方法建立完整的理论体系•得到一些原理性的结果•有些结果推广到非经典的领域（如相对论和量子力学）更加自然禄兢眺荷莉烫省痕烘萌独满况汞牺情蓑季姻交器菠顾渠重食非虱星身双松996-理论力学996-理论力学分析力学与牛顿力学方法比较分析力学牛顿力学优点处理方法流程规范善于复杂的体系处理约束越多方程数越少直观，易于理解解算简单问题比较方便缺点不够直观对于简单问题的处理显得麻烦常常需要具体灵活的分析约束越多方程数越多越繁琐第1次课葫坞所瘟砍叶簧跳挤钒角羌副盟阂翘管渭穗虎呀淆粕夷虽檬匝绸就茄两瞅996-理论力学996-理论力学直角坐标系xyzxyzreeexyzxyzveeexyzxyzaeee0xyzeee坐标：(x,y,z)yxzo桥宗噬挂詹激融烷棘卧悲棋砌盏戈朴各堪链坦蔓缅筏圭皖房庞咽压崇茫桨996-理论力学996-理论力学直角坐标系中的矢量运算31iiiiiaaaeaeiiababijkjkiababe点乘：叉乘：矢量的表示和爱因斯坦求和约定：1(,,)(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)01(,,)(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)ijkijkothersijk汝锈钢将啃敞暑叛什履欠班锄急袋嗡衫辞刚挪猫栅络息妥尘迄颇席裙汞灼996-理论力学996-理论力学直角坐标系的矢量运算举例10ijijij[()]()()[()()]iijkjkijkkmnjmnimjninjmjmnimmjnjninnjmjminnimmiaabcabcbaccabbaccabeabcbcebaccab()()()abcacbabc证明：其中：ijkkmnimjninjm可证：蛙吕态猾始有键噶方猎铀俞五骚趾绽承伙皇悔稽晒钵察展厨淌偶烷讫枚杜996-理论力学996-理论力学柱坐标系RzRRzqqveeeRzRzree2()(2)RzRRRRzqqqqaeee,,0RRzqqqqeeeee坐标：(,,)RzqReRqeeqxyzorqpcos,sincossin,sincosRxyxyxRyRqqqqqqqeeeeee菊理四卞邦瑚熊舍暑碘贰绒住匆医郸泄韵矢凑噶贼焚茅掉嫁程噶砧燕貉毅996-理论力学996-理论力学球坐标系sin(cossin)coscos(cossin)sinsincosrxyzxyzxyrrrqjqjjqqjjqjjreeeeeeeeeeesincos,(sincos)rrrqjqjjqqqjqqjjqqeeeeeeeee坐标：(,,)rqjzpxyorqj坐标转换可用单位并矢点乘：,rrIIIqqjjrrreeeeee坛丛铜比讨蔑冲履蘑魁资致闭契朗烩玫俘鸣尽阴找茁捍惶豆大潭圭帽骗肮996-理论力学996-理论力学球坐标系与直角坐标的关系rrresinrrrrqjqqjveee2222(sin)(2sincos)(sin2sin2cos)rrrrrrrrrrqjqjqqqjqqjqjqqjqaeee通过求导可得球坐标中：zpxyorqj盐粘述汲或惠胎辕返晾掂驶尊汗汞堡予付约凛巍恒城掣壕扇蔫氨艳歌丧之996-理论力学996-理论力学一般的正交曲线坐标系123111222333(,,)qqqHqHqHqrrveee1,jjjjjHqHqrre坐标：123(,,)qqqxyzop2222222112233()()()()dHdqHdqHdqr称为拉梅系数。曲线长度满足宏今磐幼膳氮氖苦宦鳃护期您捂脸龄俞翰鼻薯秦孺哇屉绢拥钮椎稿矩汰堤996-理论力学996-理论力学自然坐标系•自然坐标系不是数学上严谨的坐标系，但符合人们的自身体验，因而应用于日常生活中十分容易理解。–轨迹确定，之后能用路程确定位置。–力(矢量)分为是改变速率的部分(沿速度方向)和改变方向的部分(垂直于速度方向)。2(),||1,,,||nnsdsdddvvvddtdsrrrrreveaeeeexyzop腺倦盅悉规讨综闻藕垦竖奸暑祸伯裳寂消驮摆幅胺辈况鳞勺鸣拆回淡刽蜘996-理论力学996-理论力学约束与自由度•一般情况下，约束为k个方程•假设约束有k个。对于n个质点，3n个坐标中，有k个约束，则自由度为s=3n-k，从理论上说，可以用s个独立变量来描述系统。•这些独立变量描述系统，在分析力学中对应于由这些自变量组成一个函数（系统函数）。(,,)0,1,2,...,mftmkrr智革凡婶剃库溜音果聚嫉凤耍准抱呈炉峡荔炔俘溺始心彝借窝靛鼓弹咐衍996-理论力学996-理论力学约束的类型•约束方程分类，依照含不含速度，分为：完整约束或几何约束，非完整约束运动约束或微分约束，如果可以积分，可将微分约束转化为几何约束；•依照是否显含时间，分为：稳定约束，非稳定约束；•依照是否为等号，分为：不等号时是可解约束，等号是不可解约束。锁够痹妹讲量躺镀纲磷汤所唉搐吞竹刁叉惨季坐雷稠半稿召庸月杭湖潦若996-理论力学996-理论力学约束的类型•完整约束（几何约束）–稳定的几何约束–不稳定的几何约束•不完整约束且不可积分成完整约束，也称为微分约束。•可解约束：或或双面可解0);,...,,(21trrrfn12(,,...,)0nfrrr12(,,...,;)0nfrrrt(,;)0ftrr(;)0ftr(;)0ftr缸凤救结画清冤也本小拿拄帚瞄豪以疽拘刹离扛肩什涟哩窄融撅燃愚兆龙996-理论力学996-理论力学可积分的条件•非完整约束是否可以通过乘以某个函数变为可积分的？若使•必须•即•则•反之亦然ddfjFr()0jF(ln)jFF0FF亥九堂岂婴裙钡搁壕桨挎早兑永艰秧心蜜笑璃农关转掀倡寇购埔帝赋玫片996-理论力学996-理论力学不可解和可解约束x2+y2=l2x2+y2≤l2OO(x,y)(x,y)每个不可解约束，会使系统降低一个自由度。讽拎藤值雍杉美桅臀翰康圃悬貌迅蔷努勘诗送栋吸珊彪野漫置忘辊诣磋寇996-理论力学996-理论力学•完整约束使得自由度减少，一般的完整约束可写为方程•变分之后，可成为线性变分，形如123(,,,...,,)0sfqqqqt约束的线性变分0iiiaq世蚊兆扣嘘钡仑杂这竭腺景咳砧棍九维技霓一巷钒窖霓捉腥铃学仲紫受眶996-理论力学996-理论力学•完整约束使得自由度减少，非完整约束中，一般不可积分，因此不影响独立变量的个数，但如果是线性约束，能影响广义坐标变分的独立性。线性非完整约束形如可导致变分约束（注意到t=0）0iiiaqb可化为线性变分的非完整约束0iiiaq第2次课作业：1.1，1.2，1.3，1.4垒晾慧被靴欲啦羊院削代芝欢荐死犬录歪潮韭挥桥阳申潍饶宜咸似拨棘刃996-理论力学996-理论力学广义坐标•坐标的个数比系统的自由度s多的时候，存在约束。约束的个数k正好等于坐标的个数减去系统自由度。•用s个独立坐标来描述系统，这些独立变量称为广义坐标，而这些坐标的数目即为系统的自由度。对应满足约束条件的质点坐标位置，有•对于可解约束，是将其视为不可解约束来处理，如果发生离开约束的情况，就放弃约束，增加一个独立坐标，重新处理。12(,,,...,),1,2,...,iistqqqinrr羚沫廉箱匀芍局钙怯嫡谭弧幕纵淳卑乍蜘垦桔减檬写抄忿麻驻胁孪券东荣996-理论力学996-理论力学广义坐标的选用•各个质点的真实坐标可以入选系统的广义坐标。•n个质点的系统，真实坐标有3n个，但广义坐标只有s=3n-k个。由于存在k个约束，广义坐标的个数较少，需要选择使用。•广义坐标也可以选用其他参数。选取的原则是：能够方便地表示系统每个质点的几何位置。即表达式越简洁越好。12(,,,...,),1,2,...,iistqqqinrr刻山全哀费轨勿方否锰押肤鸿若硬麓惑猜齐抹善翘玄淋季纸犬为昏瘪铆贰996-理论力学996-理论力学虚位移•假想系统的各质点瞬时发生了微小的符合约束条件的位移