导数的概念练习题

第1页共4页技能演练[来源:zzstep.com]基础强化1．当自变量x由x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量的比是函数()A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x1处的导数C．在区间[x0，x1]上的导数D．在x处的平均变化率解析由平均变化率的定义知选A.答案A2．对于函数f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)为()A．0B．1C．cD．不存在解析f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0c－cΔx＝0.答案A3．y＝x2在x＝1处的导数为()A．2xB．2C．2＋ΔxD．1解析Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2，∴ΔyΔx＝2＋Δx.∴f′(1)＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.答案B[来源:中教网]4．在导数的定义中，自变量的增量Δx满足()A．Δx0B．Δx0C．Δx＝0D．Δx≠0解析Δx可正、可负，就是不能为0，因此选D.答案D5．一物体运动满足曲线方程s＝4t2＋2t－3，且s′(5)＝42(m/s)，其实际意义是()A．物体5秒内共走过42米B．物体每5秒钟运动42米C．物体从开始运动到第5秒运动的平均速度是42米/秒D．物体以t＝5秒时的瞬时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的路程为42米解析由导数的物理意义知，s′(5)＝42(m/s)表示物体在t＝5秒时的瞬时速度．故选第2页共4页D.答案D6．如果质点A按规律s＝3t2运动，那么在t＝3时的瞬时速度为________．解析Δy＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2，∴s′(3)＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(18＋3Δt)＝18.答案187．设函数f(x)满足limx→0f1－f1－xx＝－1，则f′(1)＝________.解析∵limx→0f1－f1－xx＝limx→0f1－x－f1－x＝f′(1)＝－1.[来源:中教网]答案－18．函数f(x)＝x2＋1在x＝1处可导，在求f′(1)的过程中，设自变量的增量为Δx，则函数的增量Δy＝________.解析Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋1]－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2.答案2Δx＋(Δx)2能力提升9．已知f(x)＝ax2＋2，若f′(1)＝4，求a的值．解Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋2－(a×12＋2)＝2a·Δx＋a(Δx)2，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2a＋a·Δx)＝2a＝4.∴a＝2.10．在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间t存在关系s(t)＝10t＋5t2(s的单位是m，t的单位是s)．第3页共4页(1)求t＝20，Δt＝0.1时的Δs与ΔsΔt；(2)求t＝20时的速度．解(1)当t＝20，Δt＝0.1时，Δs＝s(20＋Δt)－s(20)[来源:中国教育出版网zzstep.com]＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－(10×20＋5×202)＝1＋20＋5×0.01＝21.05.∴ΔsΔt＝21.050.1＝210.5.(2)由导数的定义知，t＝20时的速度即为v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→010t＋Δt＋5t＋Δt2－10t－5t2Δt＝limΔt→05Δt2＋10Δt＋10tΔtΔt＝limΔt→0(5Δt＋10＋10t)＝10＋10t＝10＋10×20＝210(m/s)．品味高考11．如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝________；函数f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝________.解析由图像知，f(0)＝4，∴f(f(0))＝f(4)＝2.当0≤x≤2时，f(x)＝－2x＋4，∴f′(1)＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx第4页共4页＝limΔx→0[－21＋Δx＋4]－－2＋4Δx＝limΔx→0(－2)＝－2.答案2－2[来源:中国教育出版网zzstep.com]12．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为()A．(1,10)B．(－1，－2)C．(1，－2)D．(－1,10)解析Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)＋1－(3x20＋6x0＋1)＝6x0Δx＋3(Δx)2＋6Δx，∴f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(6x0＋3Δx＋6)＝6x0＋6.又f′(x0)＝0，∴x0＝－1，∴y0＝－2.故点P的坐标为(－1，－2)．答案B