导数的背景

导数的背景教学目标：理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义教学重点：瞬时速度、切线的斜率、边际成本教学难点：极限思想课时：2课时教学过程一、导入新课1.瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？析：大家知道，自由落体的运动公式是221gts（其中g是重力加速度）.当时间增量t很小时，从3秒到（3＋t）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大.因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.从3秒到（3＋t）秒这段时间内位移的增量：222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(tttstss从而，ttsv9.44.29.从上式可以看出，t越小，ts越接近29.4米/秒；当t无限趋近于0时，ts无限趋近于29.4米/秒.此时我们说，当t趋向于0时，ts的极限是29.4.当t趋向于0时，平均速度ts的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度.一般地，设物体的运动规律是s＝s（t），则物体在t到（t＋t）这段时间内的平均速度为ttsttsts)()(.如果t无限趋近于0时，ts无限趋近于某个常数a，就说当t趋向于0时，ts的极限为a，这时a就是物体在时刻t的瞬时速度.2.切线的斜率问题2：P（1,1）是曲线2xy上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.析：设点Q的横坐标为1＋x，则点Q的纵坐标为（1＋x）2，点Q对于点P的纵坐标的增量（即函数的增量）22)(21)1(xxxy，所以，割线PQ的斜率xxxxxykPQ2)(22.由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，x变得越来越小，PQk越来越接近2；当点Q无限接近于点P时，即x无限趋近于0时，PQk无限趋近于2.这表明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线.我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线.由点斜式，这条切线的方程为：12xy.一般地，已知函数)(xfy的图象是曲线C，P（00,yx），Q（yyxx00,）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.当点Q沿着曲线无限接近点P，即x趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.此时，割线PQ的斜率xykPQ无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当x趋向于0时，割线PQ的斜率xykPQ的极限为k.3.边际成本问题3：设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关系式为103)(2qqC，我们来研究当q＝50时，产量变化q对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：222)(3300)10503(10)50(3)50()50(qqqCqCC.产量变化q对成本的影响可用：qqC3300来刻划，q越小，qC越接近300；当q无限趋近于0时，qC无限趋近于300，我们就说当q趋向于0时，qC的极限是300.我们把qC的极限300叫做当q＝50时103)(2qqC的边际成本.一般地，设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），当产量为0q时，产量变化q对成本的影响可用增量比qqCqqCqC)()(00刻划.如果q无限趋近于0时，qC无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本.它表明当产量为0q时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）.二、小结瞬时速度是平均速度ts当t趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy当x趋近于0时的极限；边际成本是平均成本qC当q趋近于0时的极限.三、练习与作业：1.某物体的运动方程为25)(tts（位移单位：m，时间单位：s）求它在t＝2s时的速度.2.判断曲线22xy在点P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.3.已知成本C与产量q的函数关系式为522qC，求当产量q＝80时的边际成本.4.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为2th，求t＝4s时此球在垂直方向的瞬时速度.5.判断曲线221xy在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6.已知成本C与产量q的函数关系为742qC，求当产量q＝30时的边际成本.四、板书设计：导数的背景一、瞬时速度二、切线的斜率三、边际成本问题1问题2问题3六、教学后记导数的概念教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。教学重点：导数的概念以及求导数教学难点：导数的概念教学过程：一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。二、新授课：1.设函数)(xfy在0xx处附近有定义，当自变量在0xx处有增量x时，则函数)(xfY相应地有增量)()(00xfxxfy，如果0x时，y与x的比xy（也叫函数的平均变化率）有极限即xy无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(xfy在0xx处的导数，记作0/xxy，即xxfxxfxfx)()(lim)(0000/注：1.函数应在点0x的附近有定义，否则导数不存在。2.在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、但不为0，而y可能为0。3.xy是函数)(xfy对自变量x在x范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(xfy上点（)(,00xfx）及点)(,(00xxfxx）的割线斜率。4.导数xxfxxfxfx)()(lim)(0000/是函数)(xfy在点0x的处瞬时变化率，它反映的函数)(xfy在点0x处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(xfy上点（)(,00xfx）处的切线的斜率。因此，如果)(xfy在点0x可导，则曲线)(xfy在点（)(,00xfx）处的切线方程为))(()(00/0xxxfxfy。5.导数是一个局部概念，它只与函数)(xfy在0x及其附近的函数值有关，与x无关。6.在定义式中，设xxx0，则0xxx，当x趋近于0时，x趋近于0x，因此，导数的定义式可写成00000/)()(lim)()(lim)(0xxxfxfxxfxxfxfxxox。7.若极限xxfxxfx)()(lim000不存在，则称函数)(xfy在点0x处不可导。8.若)(xf在0x可导，则曲线)(xfy在点（)(,00xfx）有切线存在。反之不然，若曲线)(xfy在点（)(,00xfx）有切线，函数)(xfy在0x不一定可导，并且，若函数)(xfy在0x不可导，曲线在点（)(,00xfx）也可能有切线。一般地，axbax)(lim0，其中ba,为常数。特别地，aax0lim。如果函数)(xfy在开区间),(ba内的每点处都有导数，此时对于每一个),(bax，都对应着一个确定的导数)(/xf，从而构成了一个新的函数)(/xf。称这个函数)(/xf为函数)(xfy在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y，即)(/xf＝/y＝xxfxxfxyxx)()(limlim00函数)(xfy在0x处的导数0/xxy就是函数)(xfy在开区间),(ba)),((bax上导数)(/xf在0x处的函数值，即0/xxy＝)(0/xf。所以函数)(xfy在0x处的导数也记作)(0/xf。注：1.如果函数)(xfy在开区间),(ba内每一点都有导数，则称函数)(xfy在开区间),(ba内可导。2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数)(xfy在点0x处的导数就是导函数)(/xf在点0x的函数值。3.求导函数时，只需将求导数式中的0x换成x就可，即)(/xf＝xxfxxfx)()(lim04.由导数的定义可知，求函数)(xfy的导数的一般方法是：（1）.求函数的改变量)()(xfxxfy。（2）.求平均变化率xxfxxfxy)()(。（3）.取极限，得导数/y＝xyx0lim。例1.求122xy在x＝－3处的导数。例2.已知函数xxy2（1）求/y。（2）求函数xxy2在x＝2处的导数。小结：理解导数的概念并会运用概念求导数。练习与作业：1.求下列函数的导数：（1）43xy；（2）xy21(3)xxy1232(3)35xy2.求函数12xy在－1,0，1处导数。3.求下列函数在指定点处的导数：（1）2,02xxy；（2）0,3102xxy；（3）1,)2(02xxy（4）1,02xxxy.4.求下列函数的导数：（1）;14xy（2）210xy；（3）;323xxy（4）722xy。5.求函数xxy22在－2,0，2处的导数。四、板书设计：导数的概念一、定义二、注例1例2五、教学后记导数的概念习题课教学目标理解导数的有关概念，掌握导数的运算法则教学重点导数的概念及求导法则教学难点导数的概念一、课前预习1.)(xf在点0x处的导数是函数值的改变量＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿与相应自变量的改变量＿＿的商当＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2.若)(xf在开区间（a，b）内每一点都有导数)(/xf，称)(/xf为函数)(xf的导函数；求一个函数的导数，就是求＿＿＿＿＿；求一个函数在给定点的导数，就是求＿＿＿＿＿.函数)(xf在点0x处的导数就是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3.常数函数和幂函数的求导公式：)_____()(___)(*//Nnxcn　　　4.导数运算法则：若＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，则：)()]([)()()]()([/////xcfxfcxgxfxgxf　　　　二、举例例1.设函数1)(2xxf，求：（1）当自变量x由1变到1.1时，自变量的增量x；（2）当自变量x由1变到1.1时，函数的增量y；（3）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；（4）函数在x＝1处的变化率.例2.生产某种产品q个单位时成本函数为205.0200)(qqC，求（1）生产90个单位该产品时的平均成本；（2）生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率；（3）生产90个与100个单位该产品时的边际成本各是多少.例3.已知函数2)(xxf，由定义求)(/xf，并求)4(/f.例4.已知函数2)()(baxxf(a,b为常数)，求)(/xf.例5.曲线223xy上哪一点的切线与直线13xy平行？三、巩固练习1.若函数3)(xxf，则/)]2([f＝＿＿＿＿＿＿2.如果函数)(xfy在点0x处的导数分别为：（1）0)(0/xf（2）1)(0/xf（3）1)(0/xf（4）2)(0/xf，试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角.3.已知函数22)(xxxf，求)0(/f，)41(/f，.4.求下列函数的导数（1）23212xxy（2）15314123xxxy（3）)4(23xxy（4）)23()12(2xxy四、作业1.若)(lim0xfx存在，则/0)](lim[xfx＝＿＿＿＿＿2.若2)(xxf，则1)1()(lim1xfxfx＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿3.求下列函数的导数：（1）14020224xxxy（2）432615423xxxxy（3）)3)(12(23x