导数讲义整理

1导数专题例4：求322xy在点)5,1(P和)9,2(Q处的切线方程。4.导数的运算1．基本函数的导数公式:①0;C（C为常数）②1;nnxnx③(sin)cosxx;④(cos)sinxx;⑤();xxee⑥()lnxxaaa;⑦1lnxx;⑧1lglogaaoxexx1例1：下列求导运算正确的是()A．(x+211)1xxB．(log2x)′=2ln1xC．(3x)′=3xlog3eD．(x2cosx)′=-2xsinx2例2：设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝()A．xsinB．xsinC．xcosD．－xcos2．导数的运算法则若(),()uxvx的导数都存在，则：①.)'''vuvu②()ku'ku(k为常数）；③.)('''uvvuuv④()uv2''vuvvu例1：求下列函数的导数（1）xxxfcos3sin2)((2）)6)(1(xx（3）153)(2xexxxfx（4）xxxfsin1)(例2：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,)()()()(xgxfxgxf＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是()33.复合函数的导数形如y=fxg()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|X=y＇|U·u＇|X或者)(')]([')])'([(xgxgfxgf.例1求下列各函数的导数：（1）已知2)2cos1(xy二、定积分的基本原理1.定积分的概念设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝nif1＝(ξi)△x（其中△x为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：badxxf)(，即badxxf)(＝ninf1lim(ξi)△x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。2.定积分的性质①babadxxfkdxxkf)()(（k为常数）；4②bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(；③bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(（其中a＜c＜b)。3.定积分的几何意义当()fx0时，()bafxdx表示由x轴，直线x=a,x=b及曲线()yfx所围成的曲边梯形的面积。6．由直线x＝12，x＝2，曲线y＝1x及x轴所围成图形的面积为()A.154B.174C.12ln2D．2ln2三、导数的应用（1）设函数)(xfy在某个区间（a，b）可导，如果'f)(x0，则)(xf在此区间上为增函数；如果'f0)(x，则)(xf在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内恒有'f0)(x，则)(xf为常数。51.函数单调性（1）简单函数单调性例1.已知函数)(xfxy的图象如图所示（其中)(xf是函数)(xf的导函数），下面四个图象中)(xfy的图象大致是()例2.设xaxxf3)(恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。（2）含有参数的函数单调性例1：已知函数()lnxfxaxa，其中(1,]ae(Ⅰ)讨论()fx的单调性；(Ⅱ)求证：对12,[1,1]xx，都有12()()2fxfxe||。6例2：已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1。（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。例3：已知函数133-)(3++=xaxxxf设)(xf在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的范围。2.极值与最值在区间[a，b]上连续的函数f)(x在[a，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内连续函数f（x）不一定有最大值，例如3(),(1,1)fxxx。（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。7例3：已知函数22()(23)(),xfxxaxaaexR其中aR(1)当0a时，求曲线()(1,(1))yfxf在点处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2)当23a时，求函数()fx的单调区间与极值。（1）恒成立与能成立问题例1：设函数()eexxfx．（Ⅰ）证明：()fx的导数()2fx≥；（Ⅱ）若对所有0x≥都有()fxax≥，求a的取值范围．例2：设函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x，，都有2()fxc成立，求c的取值范围．8例3：已知函数1()ln1afxxaxx()aR.(Ⅰ)当12a时，讨论()fx的单调性；（Ⅱ）设2()24.gxxbx当14a时，若对任意1(0,2)x，存在21,2x，使12()()fxgx，求实数b取值范围.例4：设函数322()(0)fxxaxaxma（1）求函数()fx的单调区间；（2）若函数()fx在[1,1]x内没有极值点，求a的取值范围；（3）若对任意的[3,6]a，不等式()1fx在[2,2]x上恒成立，求m的取值范围。9（2）交点个数的问题例1：已知3x是函数2ln110fxaxxx的一个极值点。（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函数fx的单调区间；（Ⅲ）若直线yb与函数yfx的图象有3个交点，求b的取值范围。例2：已知函数0a1,-2ax-)(3≠=xxf（1）求)(xf的单调区间（2）)(xf在-1=x处取得极值，直线my=与)(xfy=的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。1013.已知函数xxaxfln)21()(2.（Ra）（Ⅰ）当1a时，求)(xf在区间[1,]e上的最大值和最小值；（Ⅱ）若在区间(1,)上，函数)(xf的图象恒在直线axy2下方，求a的取值范围．14.已知函数1()ln1afxxaxx()aR.(Ⅰ)当12a时，讨论()fx的单调性；（Ⅱ）设2()24.gxxbx当14a时，若对任意1(0,2)x，存在21,2x，使12()()fxgx，求实数b取值范围.