2016高考数学常见题型(第四辑)：数列的综合应用

数列的综合应用题型一等差、等比数列的综合应用例1(2014·山东理)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－14nanan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋2×12×2＝2a1＋2，S4＝4a1＋4×32×2＝4a1＋12，由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1.(2)bn＝(－1)n－14nanan＋1＝(－1)n－14n2n－12n＋1＝(－1)n－1(12n－1＋12n＋1)．当n为偶数时，Tn＝(1＋13)－(13＋15)＋…＋(12n－3＋12n－1)－(12n－1＋12n＋1)＝1－12n＋1＝2n2n＋1.当n为奇数时，Tn＝(1＋13)－(13＋15)＋…－(12n－3＋12n－1)＋(12n－1＋12n＋1)＝1＋12n＋1＝2n＋22n＋1.所以Tn＝2n＋22n＋1，n为奇数，2n2n＋1，n为偶数.(或Tn＝2n＋1＋－1n－12n＋1)．点评：高考命制综合题时，常将等差、等比数列结合在一起，形成两者之间的相互联系和相互转化，破解这类问题的方法是首先寻找通项公式，利用性质之间的对偶与变式进行转化．已知等比数列{an}的公比为q，前n项的和为Sn，且S3，S9，S6成等差数列．(1)求q3；(2)求证：a2，a8，a5成等差数列．对点训练【解析】(1)方法一：由S3，S9，S6成等差数列，得S3＋S6＝2S9.若q＝1，则S3＋S6＝9a1,2S9＝18a1.由a1≠0，得S3＋S6≠2S9，与题意不符，∴q≠1.由S3＋S6＝2S9，得a11－q31－q＋a11－q61－q＝2a11－q91－q.整理，得q3＋q6＝2q9，由q≠0且q≠1，得q3＝－12.方法二：由S3，S9，S6成等差数列，得S9－S3＝S6－S9.∴a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝－(a7＋a8＋a9)．移项得a4＋a5＋a6＋2(a7＋a8＋a9)＝0.∴(a4＋a5＋a6)(1＋2q3)＝0.∵a4＋a5＋a6＝a4(1＋q＋q2)≠0，∴1＋2q3＝0，∴q3＝－12.(2)方法一：由(1)知，a8＝a2×q6＝14a2，a5＝a2×q3＝－12a2，a8－a2＝a5－a8，所以a2，a8，a5成等差数列．方法二：由(1)知，a2＋a5－2a8＝a2×(1＋q3－2q6)＝a2(1－12－2×14)＝0，所以a2，a8，a5成等差数列．题型二数列与函数、不等式的综合应用例2已知函数f(x)＝logkx(k为常数，k0且k≠1)，且数列{f(an)}是首项为4，公差为2的等差数列．(1)求证：数列{an}是等比数列；(2)若bn＝an·f(an)，当k＝2时，求数列{bn}的前n项和Sn；(3)若cn＝anlgan，问是否存在实数k，使得{cn}中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【解析】(1)由题意知f(an)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，即logkan＝2n＋2，∴an＝k2n＋2，∴an＋1an＝k2n＋1＋2k2n＋2＝k2.∵常数k0且k≠1，∴k2为非零常数．∴数列{an}是以k4为首项，k2为公比的等比数列．(2)由(1)知，bn＝anf(an)＝k2n＋2·(2n＋2)，当k＝2时，bn＝(2n＋2)·2n＋1＝(n＋1)·2n＋2.∴Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n＋1)·2n＋2，①2Sn＝2·24＋3·25＋…＋n·2n＋2＋(n＋1)·2n＋3.②②－①，得Sn＝－2·23－24－25－…－2n＋2＋(n＋1)·2n＋3＝－23－(23＋24＋25＋…＋2n＋2)＋(n＋1)·2n＋3，∴Sn＝－23－231－2n1－2＋(n＋1)·2n＋3＝n·2n＋3.(3)存在．由(1)知，cn＝anlgan＝(2n＋2)·k2n＋2lgk，要使cncn＋1对一切n∈N*成立，即(n＋1)lgk(n＋2)k2lgk对一切n∈N*成立．①当k1时，lgk0，n＋1(n＋2)k2对一切n∈N*恒成立；②当0k1时，lgk0，n＋1(n＋2)k2对一切n∈N*恒成立，只需k2(n＋1n＋2)min，∵n＋1n＋2＝1－1n＋2单调递增，∴当n＝1时，(n＋1n＋2)min＝23.∴k223，且0k1,0k63.综上所述，存在实数k∈(0，63)∪(1，＋∞)满足条件．点评：数列与函数的综合问题主要有以下两类：(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图像研究数列问题．(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．对点训练已知f(x)＝－4＋1x2，数列{an}的前n项和为Sn，点Pn(an，－1an＋1)在曲线y＝f(x)上(n∈N*)，且a1＝1，an0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：Sn12(4n＋1－1)，n∈N*.【解析】(1)－1an＋1＝f(an)＝－4＋1a2n，且an0，∴1an＋1＝4＋1a2n，∴1a2n＋1－1a2n＝4(n∈N*)．∴数列{1a2n}是等差数列，首项1a21＝1，公差d＝4.∴1a2n＝1＋4(n－1)，∴a2n＝14n－3.∵an0，∴an＝14n－3(n∈N*)．(2)证明：∵an＝14n－3＝224n－324n－3＋4n＋1＝4n＋1－4n－32，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an12[(5－1)＋(9－5)＋…＋(4n＋1－4n－3)]＝12(4n＋1－1)．例3(2014·新课标全国Ⅰ理)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．题型三数列中的探索性问题【思路】(1)已知数列{an}的前n项和Sn与相邻两项an，an＋1间的递推关系式anan＋1＝λSn－1，要证an＋2－an＝λ，故考虑利用an＋1＝Sn＋1－Sn消去Sn进行证明．(2)若{an}为等差数列，则有2a2＝a1＋a3，故可由此求出λ，进而由an＋2－an＝4验证{an}是否为等差数列即可．【解析】(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减，得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4.由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．点评：探究性问题是一类具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备，要求考生自己结合已知条件，进行观察、分析、比较和概括．它对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法解决问题的能力提出了较高的要求．这类问题不仅考查了考生的探索能力，而且给考生提供了创新思维的空间，所以备受高考命题人的青睐，是高考重点考查的内容．探索性问题一般可以分为：条件探索性问题、规律探索性问题、结论探索性问题、存在探索性问题等．对点训练已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得1a1＋1a2＋…＋1am≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，则由已知可得a31q3＝125，|a1q－a1q2|＝10，解得a1＝53，q＝3或a1＝－5，q＝－1.故an＝53·3n－1，或an＝－5·(－1)n－1.(2)若an＝53·3n－1，则1an＝35·(13)n－1.故{1an}是首项为35，公比为13的等比数列．从而∑mn＝11an＝35·[1－13m]1－13＝910·[1－(13)m]9101.若an＝－5·(－1)n－1，则1an＝－15(－1)n－1.故{1an}是首项为－15，公比为－1的等比数列．从而∑mn＝11an＝－15，m＝2k－1k∈N*，0，m＝2kk∈N*.故∑mn＝11an1.综上，对任何正整数m，总有n＝1m1an1.故不存在正整数m，使得1a1＋1a2＋…＋1am≥1成立．例4(2015·上海虹口区模拟)某市2014年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车牌照2万张．为了节能减排和控制总量，从2014年开始，每年电动型汽车牌照的发放量按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动型汽车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．题型四数列的实际应用(1)记2014年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{an}，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{bn}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；(2)从2014年算起，求二十年发放的汽车牌照总量．a1＝10a2＝9.5a3＝____a4＝____…b1＝2b2＝3b3＝____b4＝____…【解析】(1)a1＝10a2＝9.5a3＝9a4＝8.5…b1＝2b2＝3b3＝4.5b4＝6.75…当1≤n≤20且n∈N*，an＝10＋(n－1)×(－0.5)＝－n2＋212；当n≥21且n∈N*，an＝0，∴an＝－n2＋212，1≤n≤20且n∈N*，0，n≥21且n∈N*.∵a4＋b4＝15.2515，∴bn＝2×32n－1，1≤n≤4且n∈N*，6.75，n≥5且n∈N*.(2)a1＋a2＋…＋a20＝10×20＋20×192×(－12)＝105，b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋…＋b20＝2×[1－324]1－32＋6.75×16＝124.25.∴从2014年算起，二十年发放的汽车牌照总量为229.25万张．点评：现实生活中数列问题的模型极为广泛，如物群的生长和消亡，人们生活的收入与支出等解决此类问题的途径有两种：一是逐项列举前几项，寻求规律，满足某种数列；二是寻求任意前后两项间关系式，转化为递推式问题．对点训练一企业的某产品每件利润100元，在未做电视广告时，日销售量为b件．当对产品做电视广告后，记每日播n次时的日销售量为an(n∈N*)件，调查发现：每日播1次则日销售量a1件在b件的基础上增加b2件，每日播2次则日销售量a2件在每日播1次时日销售量a1件的基础上增加b4件，…，每日播n次，该产品的日销售量an件在每日播n－1次时的日销售量an－1件的基础上增加b2n件．合同约定：每播一次企业需支付广告费2b元．(1)试求出an与n的关系式；(2)该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大，求每日电视广告需播多少次？【解析】(1)由题意，电视广告每日播k次时，该产品的日销售量ak满足ak＝ak－1＋b2k(k∈N*，a0＝b)，∴an＝b＋b2＋b22＋…＋b2n＝b[1－12n＋1]1－12＝b(2－12n)(n∈N*)．即该产品每日销售量an(件)与电视广告播放量n(次/日)的关系式为an＝b(2－12n)(n∈N*)．(2)该企业每日播放电视广告n次时的获利为cn＝100b(2－12n)－2bn＝100b(2－0.02n－12n)(n∈N*)．∵cn－cn－1＝100b(12n－0.02)≥0，即2n≤50，n∈N*，∴n≤5(n∈N*)．∵cn＋1－cn＝100b(12n＋1－0.02)≤0，∴2n≥25，∴n≥5.∴n＝5.∴要使该