2014届高三数学一轮复习专讲专练：12.4 离散型随机变量及其分布列

第十二章概率、随机变量及其分布§12.4离散型随机变量及其分布列01教材回扣02考点分类03课堂内外双基限时练[高考调研明确考向]考纲解读考情分析•理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．•理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．•分布列的求法单独命题较少，多与期望与方差的求法相结合．•常在解答题中考查，难度中低档.01教材回扣自主学习必考必记,学教相长知识梳理1.离散型随机变量的分布列如果随机试验的结果可以用一个□1______来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做□2__________________.2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P＝(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的□3____________，简称为X的□4________.有时为了表达简单，也用等式□5__________表示X的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质①pi≥0，i＝1,2，…，n；②i＝1npi＝1.3．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，即其分布列为X01P1－pp，其中p＝□6__________称为成功概率．(2)超几何分布列：在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝□7____________，且□8______________，则称分布列为超几何分布列．X01…mPC0M·Cn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN答案：□1变量□2离散型随机变量□3概率分布列□4分布列□5P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n□6P(X＝1)□7min{M，n}□8n≤N，M≤N，n、M、N∈N*名师微博●一类表格统计就是通过采集数据，用图表或其他方法去处理数据，利用一些重要的特征数信息进行评估并做出决策，而离散型随机变量的分布列就是进行数据处理的一种表格．第一行数据是随机变量的取值，把试验的所有结果进行分类，分为若干个事件，随机变量的取值，就是这些事件的代码；第二行数据是第一行数据代表事件的概率，利用离散型随机变量的分布列，很容易求出其期望和方差等特征值．●两条性质①第二行数据中的数都在(0,1)内；②第二行所有数的和等于1.●三种方法①由统计数据得到离散型随机变量分布列；②由古典概型求出离散型随机变量分布列；③由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列.基础自测1.抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是()A．2颗都是4点B．1颗1点，另1颗3点C．2颗都是2点D．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点解析：由于抛掷1颗骰子，可能出现的点数是1,2,3,4,5,6这6种情况之一，而X表示抛掷2颗骰子所得到的点数之和，所以X＝4＝1＋3＝2＋2表示的随机试验结果是：1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点，故选D.答案：D2．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，不放回地任意抽取两个球，设两个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为()A．25B．10C．7D．6解析：X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2，2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.答案：C3．若随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i2a(i＝1,2,3)，则P(X＝2)＝()A.19B.16C.13D.14解析：由分布列的性质得12a＋22a＋32a＝1，∴a＝3，P(X＝2)＝22a＝13.答案：C4．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是__________．解析：设所选女生人数为x，则x服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，则P(x≤1)＝P(x＝0)＋P(x＝1)＝C02C34C36＋C12C24C36＝45.答案：455．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝x1)＝13，P(ξ＝x2)＝13且x1＜x2，又已知E(ξ)＝43，D(ξ)＝29，则x1＋x2的值为__________．解析：由E(ξ)＝43，得23x1＋13x2＝43.①由D(ξ)＝29，得x1－432×23＋x2－432×13＝29.②解由①②组成的方程组，得x1＝1，x2＝2.所以x1＋x2＝3.答案：302考点分类案例剖析研习考点,触类旁通[例1]设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．考点一离散型随机变量分布列的性质解析：由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表为：X012342X＋113579|X－1|10123从而由上表得两个分布列为：(1)2X＋1的分布列：2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的分布列：|X－1|0123P0.10.30.30.3方法点睛①利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．②若X是随机变量，则2X＋1，|X－1|等仍然是随机变量，求它们的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．变式训练1(1)随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝__________.(2)设随机变量Y的分布列为：Y－123P14m14则事件“Y≤12”和“32≤Y≤72”的概率为__________．解析：(1)2b＝a＋c，又a＋b＋c＝1，∴b＝13，a＋c＝23.(2)∵14＋m＋14＝1，∴m＝12.∴PY≤12＝P(Y＝－1)＝14，P32≤Y≤72＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝34.答案：(1)23(2)14和34[例2]某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．考点二求离散型随机变量的分布列(1)随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(2)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列；(3)随机选取3件产品，求这3件产品都不能通过检测的概率．解析：(1)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A，事件A等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”，∴P(A)＝610＋410×23＝1315.(2)由题可知X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C34C06C310＝130，P(X＝1)＝C24C16C310＝310，P(X＝2)＝C14C26C310＝12，P(X＝3)＝C04C36C310＝16.∴X的分布列如下：X0123P1303101216(3)设“随机选取3件产品都不能通过检测”的事件为B，事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”，所以，P(B)＝130·133＝1810.方法点睛求离散型随机变量分布列的步骤：①找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…，n)；②求出各取值的概率P(X＝xi)＝Pi；③列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．变式训练2袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各两个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的分布列；(3)计分介于20分到40分之间的概率．解析：(1)方法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝C35C12C12C12C310＝23.方法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件．因为P(B)＝C15C22C18C310＝13，所以P(A)＝1－P(B)＝1－13＝23.(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5.P(X＝2)＝C22C12＋C12C22C310＝130；P(X＝3)＝C24C12＋C14C22C310＝215；P(X＝4)＝C26C12＋C16C22C310＝310；P(X＝5)＝C28C12＋C18C22C310＝815；所以随机变量X的概率分布列为：X2345P130215310815(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝215＋310＝1330.[例3]一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．考点三超几何分布解析：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x.则P(A)＝1－C210－xC210＝79，解之得x＝5.故白球有5个．(2)X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝3，其中P(X＝k)＝Ck5C3－k5C310，k＝0,1,2,3.于是可得其分布列为X0123P112512512112方法点睛①对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．②超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．变式训练3某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的分布列．解析：依题意随机变量X服从超几何分布，∴P(X＝k)＝Ck6C4－k4C410(k＝0,1,2,3,4)．∴P(X＝0)＝C06C44C410＝1210，P(X＝1)＝C16C34C410＝435，P(X＝2)＝C26C24C410＝37，P(X＝3)＝C36C14C410＝821，P(X＝4)＝C46C04C410＝114.∴X的分布列为：X01234P12104353782111403课堂内外学海拾贝名师在线,特色奉献易错矫正(三十五)对随机变量理解不清致误[试题](2011·山东，12分)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．错解：设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.(1)P＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＝0.4，(2)由题意知ξ＝1,2,3P(ξ＝1)＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＝0.35，P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.15.∴P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.5.∴ξ分布列为：ξ123P0.350.50.15∴E(ξ)＝1×0.35＋2×0.5＋3×0.15＝3.95.错因：上述解答中出现的错误点有：(1)第(1)中至少两人获胜，理解为只有两人获胜忽视了三人获胜也满足．(2)第(2)中ξ的理解不深．红队队员获胜的盘数认为最少胜一盘所以ξ误取1,2,3而导致错误；还有求P(ξ＝2)时利用了对立事件，由于ξ取值错误，P(ξ＝2)求时应为P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)．实质上P(ξ＝2)的求法可分类去求，即P(ξ＝2)＝P(DEF)