【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.2 一元二次不等式及其解法课件

第七章不等式§7.2一元二次不等式及其解法内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析思想与方法系列思想方法感悟提高练出高分基础知识自主学习1.“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两个相异实根x1，x2(x1x2)有两个相等实根x1＝x2＝－没有实数根b2a知识梳理1∅ax2＋bx＋c0(a0)的解集(－∞，x1)∪(x2，＋∞)(－∞，-b2a)∪－b2a，＋∞Rax2＋bx＋c0(a0)的解集(x1，x2)∅答案2.(x－a)(x－b)0或(x－a)(x－b)0型不等式的解法不等式解集aba＝bab(x－a)·(x－b)0{x|xa或xb}(x－a)·(x－b)0{x|bxa}{x|axb}口诀：大于取两边，小于取中间.{x|x≠a}{x|xb或xa}∅答案判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(2)不等式≤0的解集是[－1,2].()(3)若不等式ax2＋bx＋c0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.()(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.()(5)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ＝b2－4ac≤0.()√×√××x－2x＋1思考辨析答案返回1.不等式x2－3x－100的解集是________________________.解析解方程x2－3x－10＝0得x1＝－2，x2＝5，由y＝x2－3x－10的开口向上，所以x2－3x－100的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞).(－∞，－2)∪(5，＋∞)考点自测2解析答案123452.设集合M＝{x|x2－3x－40}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝________.解析∵M＝{x|x2－3x－40}＝{x|－1x4}，∴M∩N＝[0,4).[0,4)解析答案123453.已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是－12，－13，则不等式x2－bx－a0的解集是__________.解析由题意知－12，－13是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋－13＝ba，－12×－13＝－1a.解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a0即为x2－5x＋60，解集为(2,3).(2,3)解析答案123454.若关于x的不等式m(x－1)x2－x的解集为{x|1x2}，则实数m的值为________.解析因为m(x－1)x2－x的解集为{x|1x2}.所以1,2一定是m(x－1)＝x2－x的解，∴m＝2.2解析答案123455.若关于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为________.解析由题意可知，Δ0且x1x2＝a2－10，故－1a1.(－1,1)解析答案12345返回题型分类深度剖析命题点1不含参的不等式例1求不等式－2x2＋x＋30的解集.解化－2x2＋x＋30为2x2－x－30，解方程2x2－x－3＝0得x1＝－1，x2＝32，∴不等式2x2－x－30的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞).题型一一元二次不等式的求解解析答案命题点2含参不等式例2解关于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a0.解由x2－(a＋1)x＋a＝0得(x－a)(x－1)＝0，∴x1＝a，x2＝1，①当a1时，x2－(a＋1)x＋a0的解集为{x|1xa}，②当a＝1时，x2－(a＋1)x＋a0的解集为∅，③当a1时，x2－(a＋1)x＋a0的解集为{x|ax1}.解析答案将原不等式改为ax2－(a＋1)x＋10，求不等式的解集.解析答案引申探究思维升华求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集.跟踪训练1解析答案命题点1在R上恒成立例3(1)若一元二次不等式2kx2＋kx－380对一切实数x都成立，则k的取值范围为________.解析2kx2＋kx－380对一切实数x都成立，则必有2k0，Δ＝k2－4×2k×－380，解之得－3k0.(－3,0)题型二一元二次不等式恒成立问题解析答案(2)设a为常数，∀x∈R，ax2＋ax＋10，则a的取值范围是________.解析∀x∈R，ax2＋ax＋10，则必有a0，Δ＝a2－4a0或a＝0，∴0≤a4.[0,4)解析答案命题点2在给定区间上恒成立例4设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)－m＋5恒成立，求m的取值范围.解析答案命题点3给定参数范围的恒成立问题例5对任意的k∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是___________.解析x2＋(k－4)x＋4－2k0恒成立，即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)0，在k∈[－1,1]时恒成立.{x|x1或x3}只需g(－1)0且g(1)0，即x2－5x＋60，x2－3x＋20，解之得x1或x3.解析答案思维升华(1)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为__________.解析x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.[－1,4]跟踪训练2解析答案(2)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是________.解析作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)0，则有fm0，fm＋10，即m2＋m2－10，m＋12＋mm＋1－10，解得－22m0.(－22，0)解析答案(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；例6某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.85解由题意得，y＝1001－x10·1001＋850x.因为售价不能低于成本价，所以1001－x10－80≥0.所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为x∈[0,2].题型三一元二次不等式的应用解析答案(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围.解由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10260，化简得8x2－30x＋13≤0.解得12≤x≤134.所以x的取值范围是12，2.解析答案思维升华某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；解y＝[(1＋0.75x)×12－(1＋x)×10]×(1＋0.6x)×10000＝－6000x2＋2000x＋20000，即y＝－6000x2＋2000x＋20000(0x1).跟踪训练3解析答案(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解上年利润为(12－10)×10000＝20000.∴y－200000，即－6000x2＋2000x0，∴0x13，即x的范围为(0，13).解析答案返回思想与方法系列典例(1)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________.思维点拨考虑“三个二次”间的关系；思想与方法系列14.转化与化归思想在不等式中的应用解析答案思维点拨(2)已知函数f(x)＝x2＋2x＋ax，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是________.思维点拨将恒成立问题转化为最值问题求解.温馨提醒解析答案返回思维点拨思想方法感悟提高1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a0时的情形转化为a0时的情形.2.f(x)0的解集即为函数y＝f(x)的图象在x轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想.3.简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解.方法与技巧1.对于不等式ax2＋bx＋c0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形.2.当Δ0时，ax2＋bx＋c0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.3.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.失误与防范返回练出高分1234567891011121314151.不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为____________.解析由(x－1)(2－x)≥0可知(x－2)(x－1)≤0，所以不等式的解集为{x|1≤x≤2}.{x|1≤x≤2}解析答案2.已知函数f(x)＝x＋2，x≤0，－x＋2，x0，则不等式f(x)≥x2的解集为________.解析方法一当x≤0时，x＋2≥x2，∴－1≤x≤0；①当x0时，－x＋2≥x2，∴0x≤1.②由①②得原不等式的解集为{x|－1≤x≤1}.方法二作出函数y＝f(x)和函数y＝x2的图象，如图，由图知f(x)≥x2的解集为[－1,1].[－1,1]解析答案1234567891011121314153.若集合A＝{x|ax2－ax＋10}＝∅，则实数a的取值范围是____________.解析由题意知a＝0时，满足条件.a≠0时，由a0，Δ＝a2－4a≤0，得0a≤4，所以0≤a≤4.[0,4]解析答案1234567891011121314154.已知不等式x2－2x－30的解集是A，不等式x2＋x－60的解集是B，不等式x2＋ax＋b0的解集是A∩B，那么a＋b＝________.解析由题意，A＝{x|－1x3}，B＝{x|－3x2}，A∩B＝{x|－1x2}，则不等式x2＋ax＋b0的解集为{x|－1x2}.由根与系数的关系可知，a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.－3解析答案1234567891011121314155.设a0，不等式－cax＋bc的解集是{x|－2x1}，则a∶b∶c＝________.解析答案1234567891011121314156.若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则a的值为__________．解析答案123456789101112131415解析若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则x2－2ax＋a＝－1有两个相等的实根，所以Δ＝4a2－4(a＋1)＝0，解得a＝1±52.1±527.若0a1，则不等式(a－x)(x－1a)0的解集是________________.解析原不等式即(x－a)(x－1a)0，由0a1得a1a，∴ax1a.{x|ax1a}解析答案1234567891011121314158.已知关于x的不等式ax－1x＋10的解集是x|x－1或x－12，则实数a＝____________.解析答案123456789101112131415解析ax－1x＋10⇔(x＋1)(ax－1)0，依题意，得a0，且1a＝－