3.2测量误差及数据处理

3.2测量误差及数据处理主要内容本节介绍测量误差的基本概念，测量误差产生的原因，测量误差的特性及分类，测量误差的数据处理方法及如何获得测量结果等内容。一、概述1、测量误差的概念是指测得值与被测量的真值之差。由于真值是难以得到的，常用相对真值或不存在系统误差下的算术平均值来代替真值。测量误差分为绝对误差和相对误差。（1）绝对误差（Δ）是指被测量的实际值x与真值μ0之差。Δ=x-μ0绝对误差是代数值，即它可能是正值、负值或零。如千分尺测得某轴35.005mm，高精度测量结果35.012mm（看作是约定真值），绝对误差为-0.007mm。（2）相对误差（ε）指绝对误差的绝对值与被测量的真值（或约定测得值xi代替）之比。%100%1000ix0.007100%0.02%35.012上述测量相对误差为注解1在实际测量中，虽真值不能得到，但往往要求分析或估算测量误差的范围，即求出真值必落在测得值附近的最小范围，称之为测量极限误差δlim。它应满足x-︱δlim︱≤μ0≤x+︱δlim︱注解2当被测量的大小相同时，可用绝对误差的大小来比较测量精度高低；而当被测量的大小不同时，则只能用相对误差的大小来比较测量精度高低。例：100±0.008(mm)80±0.007(mm)比较测量精度高低。%008.0%100100008.01%00875.0%10080007.022、测量误差的来源（1）计量器具误差它是指计量器具设计、制造和装配调整不准确而产生的误差，分为原理误差、仪器制造和装配调整误差。测量误差的来源.1①.基准件误差：刻线尺制造过程中的划线误差、量块使用过程中磨损产生的误差等；②.原理误差：用近似机构代替理论要求的机构所产生的误差；③.制造误差：量具本身的制造误差；④.测量力引起的误差：测量力引起计量器具和被测工件的变形。测量误差的来源.2（2）测量方法误差指测量时选用的测量方法不完善（包括工件安装不合理、测量方法不当、计算公式不准确等）或对被测对象认识不全面引起的误差。测量误差的来源.3（3）环境误差指测量时的环境条件不符合标准所引起的误差，包括温度、湿度、气压、振动、灰尘等因素。L测量误差的来源.4（4）人为误差指测量人员的主观因素（技术熟练程度、疲劳程度、测量习惯等）引起的误差。总之，产生误差的因素很多，分析时应找出主要因素，采取相应措施，设法消除减小其影响，以保证测量结果的精确。二、测量误差的分类及数据处理根据误差性质和出现规律分为：⑴、随机误差在同一条件下，对同一被测值进行多次重复测量时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。⑵系统误差多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或按一定的规律变化的误差。⑶粗大误差超出一定测量条件下预计的误差。1、系统误差定值系统误差在全部测量过程中，它的数值和符号均不变的误差。特点：使随机误差曲线产生平移。变值系统误差在相同测量条件下，多次测量同一量值时，其大小和方向按一定规律变化的误差。特点：使随机误差曲线改变形状，不具备抵偿性。2、粗大误差由于测量不正确等原因引起的明显歪曲测量结果的误差或大大超出规定条件下预期的误差。正确的测量，不应包含粗大误差。进行误差分析时，要将其剔除，主要分析随机误差和系统误差。3、随机误差特征及其评定（1）随机误差的分布及其特征在同一条件下，对同一被测值进行多次重复测量时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。每一单次测量所产生的误差绝对值和符号不能预料，但以足够多的次数重复测量，随机误差的总体服从一定的统计规律。表3.4测量数据统计表序号测量值范围测量中值出现次数ni相对出现频率ni/N17.1305~7.1315x1=7.131n1=10.00727.1315~7.1325x2=7.132n2=30.02037.1325~7.1335x3=7.133n3=80.05447.1335~7.1345x4=7.134n4=180.12057.1345~7.1355x5=7.135n5=280.18767.1355~7.1365x6=7.136n6=340.22777.1365~7.1375x7=7.137n7=290.19387.1375~7.1385x8=7.138n8=170.11397.1385~7.1395x9=7.139n9=90.060107.1395~7.1405x10=7.140n10=20.013117.1405~7.1415x11=7.141n11=10.007测得值的平均值：7.136N=∑ni=150∑(ni/N)=1随机误差的正态分布曲线（2）随机误差的基本特性①.单峰性绝对值小的随机误差比绝对值大的出现的概率大。②.离散性随机误差的绝对值有大有小，呈离散分布。③.对称性绝对值相等的正负随机误差出现的概率相同。④.有界性一定测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定的界限。（3）正态分布的随机误差根据概率论，正态分布曲线数学表达式式中y——概率密度；σ——标准偏差；δ——随机误差；e——自然对数的底。22221ey（3）正态分布的随机误差概率密度y与随机误差δ及标准偏差σ有关，当δ=0时，概率密度最大，且有标准偏差σ是各随机误差δ平方和的平均值的正平方根。21niin21maxy正态分布的概率计算.1标准偏差σ表示了随机误差的离散程度，σ越小，ymax越大，分布曲线越陡峭，测得值越集中，测量精度越高。反之，σ越大，ymax越小，分布曲线越平坦，测得值越分散，测量精度越低。图3.5不同标准偏差的正态分布曲线06σ336σ226σ11正态分布的概率计算.2由概率论随机误差落在（+∞、-∞）之间的概率p为1随机误差出现在（+δ、-δ）内的概率为121222deydP22212Ped正态分布的概率计算.3令t=δ/σ，则dt=dδ/σ22220122()22tttttPedtedtt2201()2tttedt由拉普拉斯函数知当t=1时，δ=±σ，2φ(t)=68.27%；当t=2时，δ=±2σ，2φ(t)=95.44%；当t=3时，δ=±3σ，2φ(t)=99.73%。图3.6随机误差的极限误差03σ3σ123123（4）随机误差的评定实际测量，被测真值μ0未知，δ也未知，故无法求出标准偏差σ。假设有测量列x1、x2、……xn，则有①.算术平均值作为被测真值μ0的最佳估计值。②.残余误差niinxnnxxxx1211......nixxvii,...,2,1x评定指标′③.标准偏差的估计值S：112nvSnii单次测量结果可表示为di=xi±3S这表示被测量真值μ0在（xi±3S）中的概率是99.73%。评定指标′④.测量列算术平均值的标准偏差相同条件下，对同一被测量重复进行若干组的“n次测量”，每组n次测量的算术平均值的标准偏差为nx测量列算术平均值的极限偏差取作99.73%3lim置信概率为xxx三、测量精度测量精度：是指测得值与其真值的接近程度。测量误差：是指测得值与其真值的差别量。测量误差越大，测量精度就越低；反之，测量精度就越高。测量精度的分类.1①.精密度指在一定的条件下进行多次测量时，各测得值的一致程度。反映随机误差对测量结果的影响。②.正确度指在一定的条件下进行多次测量时，各测得值的平均值与其真值的一致程度。反映定值系统误差对测量结果的影响。③.准确度指在一定的条件下进行多次测量时，各测得值与其真值的一致程度。表示系统误差和随机误差对测量结果的综合影响。精密度高正确度低精密度低正确度高精密度低正确度低精密度高正确度高测量精度的分类.2图3.7靶示测量精度与测量误差(a)(b)(c)(d)四、等精度直接测量列的数据处理等精度测量是指采用相同的测量基准、测量工具与测量方法，在相同的测量环境下，由同一个测量者进行的测量。在这种条件下获得的一组数据，每个测量值都具有相同的精度。1、数据处理步骤（1）检查测量列中有无系统误差，如为定值或已知规律的系统误差，加以清除或修正。（2）计算测量列的、vi和σ(S)。（3）判断粗大误差，若存在剔除重新计算、vi和σ(S)。（4）计算测得值的算术平均值的极限误差（5）写出多次测量结果的表达式。xx2、处理事例例:以一个30mm的5等量块为标准，用立式光学比较仪对一圆柱轴进行十次等精度测量，测得值如表所示，已知量块长度的修正值为-1μm，试对其进行数据处理后写出测量结果。序号测量值xi’(mm)130.050230.048330.049430.047530.051630.052730.044830.053930.0461030.050处理过程.1解：1、对量块的系统误差进行修正，全部测得值分别加上量块的修正值-0.001mm，如表第三列。序号测量值xi’(mm)去除系统误差的测量值xi130.05030.049230.04830.047330.04930.048430.04730.046530.05130.050630.05230.051730.04430.043830.05330.052930.04630.0451030.05030.049处理过程.22、求算术平均值10111030.048()niiiixxxnmm序号测量值xi’(mm)去除系统误差的测量值xi130.05030.049230.04830.047330.04930.048430.04730.046530.05130.050630.05230.051730.04430.043830.05330.052930.04630.0451030.05030.04930.048ixxn求标准偏差：处理过程.3求残余误差：xxvii210.0000711010.0028()niivSnmm序号去除系统误差的测量值xi残余误差vi(mm)残余误差的平方vi2(mm)130.049+0.0010.000001230.047-0.0010.000001330.04800430.046-0.0020.000004530.050+0.0020.000004630.051+0.0030.000009730.043-0.0050.000025830.052+0.0040.000016930.045-0.0030.0000091030.049+0.0010.00000101niiv00007.012niiv30.048ixxn等精度直接测量的数据处理表序号测量值xi’(mm)去除系统误差的测量值xi残余误差vi(mm）残余误差的平方vi2（mm）130.05030.049+0.0010.000001230.04830.047-0.0010.000001330.04930.04800430.04730.046-0.0020.000004530.05130.050+0.0020.000004630.05230.051+0.0030.000009730.04430.043-0.0050.000025830.05330.052+0.0040.000016930.04630.045-0.0030.0000091030.05030.049+0.0010.000001048.30nxxi01niiv00007.012niiv处理过程.33、判断粗大误差用拉依达准则进行判定。测量列中每个数据的残余误差vi应在三倍的标准偏差以内，否则作为坏值予以剔除。即3S=3×0.0028=0.0084mm而表中第四列vi最大绝对值|v4(max)|=0.005mm3S=0.0084mm。因此，测量列中不存在粗大误差。处理过程.44、求测得值的算术平均值的极限误差5、多次测量的测量结果即该轴的直径为30.048mm，其不确定度在±0.0