专题24：方程、不等式和函数的综合

『激活中考』教学网[]做出我们的精彩『激活中考』教学网版权所有第1页共58页欢迎下载教学资料2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题24：方程、不等式和函数的综合一、选择题1.（2012福建龙岩4分）下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有【】①y=x②y=－2x＋1③1y=x④2y=3xA．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B。【考点】一次函数、反比例函数和二次函数的性质。【分析】根据一次函数、反比例函数和二次函数的性质作出判断：①∵y=x的k＞0，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；②∵y=－2x＋1的k＜0，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；③∵1y=x的k＜0，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；④∵2y=3x的a＞0，对称轴为x=0，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而减小。∴正确的有2个。故选B。2.（2012四川广元3分）已知关于x的方程22(x1)(xb)2有唯一实数解，且反比例函数1byx的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【】A.3yxB.1yxC.2yxD.2yx【答案】D。【考点】一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质。【分析】关于x的方程22(x1)(xb)2化成一般形式是：2x2＋（2－2b）x＋（b2－1）=0，∵它有唯一实数解，∴△=（2－2b）2－8（b2－1）=－4（b＋3）（b－1）=0，解得：b=－3或1。∵反比例函数1byx的图象在每个象限内y随x的增大而增大，∴1+b＜0。∴b＜－1。∴b=－3。∴反比例函数的解析式是13yx，即2yx。故选D。『激活中考』教学网[]做出我们的精彩『激活中考』教学网版权所有第2页共58页欢迎下载教学资料3.（2012山东菏泽3分）已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，那么一次函数ybxc和反比例函数ayx在同一平面直角坐标系中的图象大致是【】A．B．C．D【答案】C。【考点】一次函数、反比例函数和二次函数的图象性质。【分析】∵由二次函数的图象知：二次函数图象开口向下，∴a＜0，∵由二次函数的图象知：二次函数图象的对称轴为=02bxa，∴由a＜0得b＜0。∵由二次函数的图象知：二次函数图象经过坐标原点，∴=0c。∴一次函数ybxc过第二四象限且经过原点，反比例函数=ayx位于第二四象限，观察各选项，只有C选项符合。故选C。4.（2012山东泰安3分）二次函数2()yaxmn的图象如图，则一次函数ymxn的图象经过【】A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限【答案】C。【考点】二次函数的图象，一次函数的性质。【分析】∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0。∴m＜0，∴一次函数ymxn的图象经过二、三、四象限。故选C。5.（2012内蒙古呼和浩特3分）已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线1y=2x上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=﹣abx2+（a+b）x【】A．有最大值，最大值为92B．有最大值，最大值为92『激活中考』教学网[]做出我们的精彩『激活中考』教学网版权所有第3页共58页欢迎下载教学资料C．有最小值，最小值为92D．有最小值，最小值为92【答案】B。【考点】关于y轴对称的点的坐标，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。【分析】∵M，N两点关于y轴对称，点M的坐标为（a，b），∴N点的坐标为（﹣a，b）。又∵点M在反比例函数1y=2x的图象上，点N在一次函数y=x+3的图象上，∴1b=2ab=a+3，即1ab=2a+b=3。∴二次函数y=﹣abx2+（a+b）x为22119y=x+3x=x3+222。∵二次项系数为12＜0，∴函数有最大值，最大值为y=92。故选B。二、填空题三、解答题1（2012广东梅州8分）一辆警车在高速公路的A处加满油，以每小时60千米的速度匀速行驶．已知警车一次加满油后，油箱内的余油量y（升）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象如图所示的直线l上的一部分．（1）求直线l的函数关系式；（2）如果警车要回到A处，且要求警车中的余油量不能少于10升，那么警车可以行驶到离A处的最远距离是多少？【答案】解：（1）设直线l的解析式是y=kx+b，由图示，直线经过（1，45），（3，42）两点，得k+b=453k+b=42，解得k=6b=60。∴直线l的解析式是：y=﹣6x+60。（2）由题意得：y=﹣6x+60≥10，解得x≤253。∴警车最远的距离可以到：25160=25032千米。【考点】一次函数和一元一次不等式的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。『激活中考』教学网[]做出我们的精彩『激活中考』教学网版权所有第4页共58页欢迎下载教学资料【分析】（1）根据直线l的解析式是y=kx+b，将（3，42），（1，54）代入求出即可。（2）利用y=﹣6x+60≥10，求出x的取值范围，从而得出警车行驶的最远距离。2.（2012广东深圳8分）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如下表所示：（1）在不超出现有资金前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍．请问商场有哪几种进货方案？（2）在“2012年消费促进月”促销活动期问，商家针对这三种节能型)品推出“现金每购满1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在(1)的条件下若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？【答案】解：（1）设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是（40－2x）台，根据题意得：402x3xx0402x05000x2000x2400402x118000，解得：8≤x≤10。∵x是整数，从8到10共有3个正整数，∴有3种进货方案：方案一：购进电视机8台，洗衣机是8台，空调是24台；方案二：购进电视机9台，洗衣机是9台，空调是22台；方案三：购进电视机10台，洗衣机是10台，空调是20台；（2）三种电器在活动期间全部售出的金额y=5500x+2160x+2700（40－2x），即y=2260x+10800。∵y=2260x+10800是单调递增函数，∴当x最大时，y的值最大。∵x的最大值是10，∴y的最大值是：2260×10+10800=33400（元）。∵现金每购1000元送50元家电消费券一张，∴33400元，可以送33张家电消费券。【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。『激活中考』教学网[]做出我们的精彩『激活中考』教学网版权所有第5页共58页欢迎下载教学资料【分析】（1）设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是（40－2x）台，根据空调的数量不超过电视机的数量的3倍，且x以及40-2x都是非负整数，即可确定x的范围，从而确定进货方案。（2）三种电器在活动期间全部售出的金额，可以表示成x的函数，根据函数的性质，即可确定y的最大值，从而确定购物卷的张数。3.（2012浙江衢州10分）在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对A、B两村之间的公路进行改造，并有甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务有甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙工程队每天修公路多少米？（2）分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式．（3）若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？【答案】解：（1）由图得：720÷（9﹣3）=120（米），答：乙工程队每天修公路120米。（2）设y乙=kx+b，则3k+b=09k+b=720，解得：k=120b=360。∴y乙=120x﹣360。当x=6时，y乙=360。设y甲=kx，则360=6k，k=60，∴y甲=60x。（3）当x=15时，y甲=900，∴该公路总长为：720+900=1620（米）。设需x天完成，由题意得：（120+60）x=1620，解得：x=9。答：该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需9天完成。【考点】一次函数和一元一次方程的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据图形用乙工程队修公路的总路程除以天数，即可得出乙工程队每天修公路的米数。『激活中考』教学网[]做出我们的精彩『激活中考』教学网版权所有第6页共58页欢迎下载教学资料（2）根据函数的图象运用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式。（3）先求出该公路总长，再设出需要x天完成，根据题意列出方程组，求出x，即可得出该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需要的天数。4.（2012浙江温州12分）温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n件产品运往A,B,C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示。设安排x件产品运往A地。（1）当n200时，①根据信息填表：A地B地C地合计产品件数（件）x2x200运费（元）30x②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？（2）若总运费为5800元，求n的最小值。【答案】解：（1）①根据信息填表A地B地C地合计产品件数（件）x2003x2x200运费（元）30x160024x50x56x+1600②由题意，得2003x2x160056x4000，解得40≤x≤6427。∵x为整数，∴x=40或41或42。∴有三种方案，分别是（i）A地40件，B地80件，C地80件；（ii）A地41件，B地77件，C地82件；『激活中考』教学网[]做出我们的精彩『激活中考』教学网版权所有第7页共58页欢迎下载教学资料（iii）A地42件，B地74件，C地84件。（2）由题意，得30x+8（n－3x）+50x=5800，整理，得n=725－7x．∵n－3x≥0，∴x≤72.5。又∵x≥0，∴0≤x≤72.5且x为整数。∵n随x的增大而减少，∴当x=72时，n有最小值为221。【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。【分析】（1）①运往B地的产品件数=总件数n－运往A地的产品件数－运往B地的产品件数；运费=相应件数×一件产品的运费。②根据运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元列出不等式组，求得整数解的个数即可。（2）总运费=A产品的运费+B产品的运费+C产品的运费，从而根据函数的增减性得到的x的取值求得n的最小值即可。5.（2012浙江绍兴12分）把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。【答案】解：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm。则（40－2x）2=484，解得1x31