最优控制第三章课后习题答案

1.2**'2**'*'*01min()2yJyyyyyydx,若(0)y与(2)y任意，求*y及(*)Jy。解：这是端点自由问题，相应的欧拉—拉格朗日方程为：()0fdfydty即''1(1)0dyyydt得''1y则'1yxc，21212yxcxc由横截条件：0fy得'1yy=0即21121(1)102xcxcc0x，1210cc；2x，12350cc。联立得122,1cc所以*21212yxx，*'2yx代入得2**'2**'*'*023201()21(221)243Jyyyyyydxxxxdx2.电枢控制的直流电动机忽略阻尼时的运动方程：()ut式中，为转轴的角位移，()ut为输入。目标函数为2201min()2uJdt，使初态(0)1及(0)1转移到终态(2)0及(2)0，求最优控制*()ut及最优角位移*()t，最优角速度*()t。解：设12,xx则122,xxxu。哈密顿函数：212212Huxu协态方程:121120,0HHxx控制方程：20Huu即*2()()utt将*()ut代入状态方程，可得1222121(),(),0,()xxtxtt边界条件为1212(0)1,(0)1,(2)0,(2)0xxxx可见这是两点边值问题，对正则方程进行拉氏变换，可得11222211221()(0)()()(0)()()(0)0()(0)()sXsxXssXsxssssss联立以上四式，可解出43211221()(0)(0)(0)(0)sXssxsxs代入初始条件12(0)1,(0)1xx，可得1212341111()(0)(0)Xsssss故2312111()1(0)(0)26xtttt同样可解得22212322221111()(0)(0)(0)1()(0)(0)(0)2Xsxsssxtxtt利用终端条件12(2)0,(2)0xx可得2121432(0)(0)0312(0)2(0)0解得127(0)3,(0)21111(0)(),()(0)sts；221221211()(0)(0),()(0)(0)sttss即127()3,()32ttt所以：最优控制*27()()32uttt最优角位移*23171()142xtttt最优角速度*2273()122xttt3.222201min(2)()22.,(),(0)1.()usJxutdtstxutxs为常量试求出最优控制*u()t及相应的轨线*()xt。解：哈密顿函数21()()2Hutut协态方程：0HX状态方程：HXu控制方程：0HuU即*u()()tt横截条件：2()(2)()fftsxXt对正则方程进行拉氏变换得：()(0)()()(0)0sXsxsss(0)()()(0)()xsXssss联立得2(0)(0)()(0)()xXsssss拉氏反变换得：()(0)(0),()(0)xtxtt代入初始条件得2()1(2),xtsxt当2t时，21(2)12xs，22(2)12ss所以最优控制22*()12suts相应的轨线22*()112sxtts4.系统由三个串联积分环节组成12233xxxxxu初态123(0)0(0)0(0)0xxx该系统由初态转到终端约束函数2212(1)(1)1,xx目标函数1201min(),2uJutdt求最优解。解：本题目属于积分型性能指标、终端时间ft固定，终端状态()fxt受约束的泛函极值问题。由题意知：222121[(),]0,(.),[()](1)(1)12fffxttLuNxtxx构造哈密顿函数为21223312Huxxu协态方程：1111212122232312330,(),(),()HtcxHtctcxHtctctcx控制方程：30Huu，23123()()uttctctc状态方程：3xu=2123ctctc，323123411()32xtctctctc322312341132xxctctctc，4322123451111262xctctctctc43212123451111262xxctctctctc，543211234561111602462xctctctctctc根据已知初始状态123(0)0,(0)0,(0)0xxx得4560ccc再根据目标集条件2212(1)(1)1xx得22221231132310442532004201280260014400ccccccccc根据横截条件1111123122121232111(1)|2(1)()()3012311(1)|2(1)())()63TtTtNvxvcccvxtNvxvcccvxt5.系统为,(0)10xxux转移到(1)0,x目标函数为1201min()2uJutdt，求最优控制*()ut和最优轨迹*()xt。解：设哈密顿函数21()2Huxu协态方程：HX，控制方程：0,()()HuuttU状态方程：()xxux，对上面的方程进行拉氏变换得()(0)[()()]sXsxXss，(0)()()1xsXss(0)()(0)(),()1sssss联立得2(0)(0)()1(1)xXsss进行拉氏反变换得()(0)(0)ttxtxete，边界条件：(0)10x，(1)0,x得(0)10()(0)10tttee最优控制*()10tute，最优轨迹*()1010ttxtete6.系统为3,(0)1xxux目标为12201min()2uJxudt，试列出两点边值问题。解：哈密顿函数：2231()()2Hxuxu协态方程：23HxxX状态方程：3Hxxu控制方程：0HuU边界条件：(0)1x7.系统为,(0)1xxux，目标为1220min()uJxudt，求最优解*()ut及*()xt。解：设哈密顿函数22()Hxuxu协态方程：2HxX状态方程：Hxxu控制方程：120,2HuuU对上面方程进行拉氏变换，()(0)()()sXsxXsus，1(0)()2()1xsXss()(0)()2()sssXs，(0)2()()1Xsss联立得2211()(0)(0)22(2)sXsxss