近世代数课件--5.4.多项式的分解域

§4.多项式的分解域我们都知道所谓代数基本定理是什么。这个定理告诉我们，复数域C上一元多项式环的每一个n次多项式在C里有n个根，换一句话说，的每一个多项式在里都能分解为一次因子的乘积。CxCxCx若是一个域E上的一元多项式环的每一个多项式在里都能分解为一次因子的乘积，那么E显然不再有真正的代数扩域。这样的一个域叫做代数闭域。ExEx我们有以下事实：对于每一个域F都存在F的代数扩域E，而E是代数闭域。这一事实的证明也超出本书范围。但分裂的理论可以在一定意义下离补这一个缺陷。定义域F的一个扩域E叫做的n次多项式在F上的一个分裂域（或根域），假如（ⅰ）在里（有时简称在E里）可以分解为一次因子的积：（ⅱ）在一个小于E的中间域里，不能这样地分解。FxfxExfx12nnifxaxxxEIFIEfx按这个定义，E是一个使得能够分解为一次因子的F的最小扩域。我们先看一看，一个多项式的分裂域应该有什么性质。fx定理1令E是域F上多项式的一个分裂域：（1）那么fx12nnifxaxxxE12,,,nEF证明我们有并且在中，已经能够分解成（1）的形式。因此根据多项式的分裂域的定义，12,,,nFFE12,,,nFfx12,,,nEF根据这个定理，如果有F上的多项式的分裂域E存在，那么E刚好是把的根添加于F所得的扩域。因此我们也把多项式的分裂叫做它的跟域。现在我们证明多项式的分裂域的存在。fxfx定理2给了域F上一元多项式环的一个n次多项式，一定存在在F的分裂域E。Fxfxfx证明假定在里，这里最高系数为1的不可约多项式。那么存在一个域而在F上的极小多项式是在里，所以因此在里Fx11fxfxgx1fx11EF11fx1E10f1|xfx1E122fxxfxgx这里是里最高系数为1的不可约多项式。这样存在一个域而在上的极小多项式是在是是的最高系数为1的不可约多项式。这样我们又可以利用来得到域，使得在里这样一步一步地我们可以得到域使得在里证完2fx1Ex2121212,EEFF21E2fx2Ex1233fxxxfxgx3fx2Ex3fx3123,,EF3Ex12344fxxxxfxgx123,,,EFEx12nnfxaxxx域F上一个多项式当然可能有不同的在F上的分裂域。但是这些域都同构。要证明这一点，我们需要两个引理。fx引理1令和是两个同构的域。那么多项式环和也同构。LLLxLx证明令是与间的同构映射，我们规定一个到的映射显然是与间的一一映射。我们看的两个元和：aaLLLxLx:iiiiaxaxLxLxLxfxgxiiiiiiiifxaxaxfxgxbxbxgxiiiiiiiiikkkiiiiiikijkkijkkijkabxabxabxfxgxfxgxabcabxabxfxgxfxgx那么所以是同构映射。证完。在上述同构映射这下，的一个不可约多项式的象显然是的一个不可约的多项式。LxLx引理2令与是同构的域，是的一个最高系数为1的不可约多项式，是与对应的的不可约多项式。又假定与各是与的单扩域，满足条件和。那么存在与尖的一个同构映射，并且这个同构映射能够保持原来的与间的同构映射。LLpxLxpxpxLxLLLL0p0pLLLL证明假定的次数是n，那么的次数也是n。这样，若是与间的同构映射，那么是一个与间的一一映射，看的两个元由于有pxpxaaLL:1100nniiiiiiaaLLL1100,nniiiiiifagb111000nnniiiiiiiiiiiiabababfxgxfg我们知道，，这里由引理1得因此这样，是与间的同构映射。至于能够保持原来与间同构映射，显然。证完。fgrfxgxqxpxrxfxgxqxpxrxfgrfgrrfgLLLL现在我们证明一个多项式的分裂域的唯一性。我们证明更一般小下述定理3令与是同构的域，的与的是在引理1的意义下相对应的n次多项式。又假定是在上的一个分裂域，是在上的一个分裂域，那么在与间存在一个同构映射，能够保持与间的同构映射，并且可以分别换掉还的次序，使在之下。FFFxfxFxfx12,,,nEFfxF12,,,nEFfxFEEFFii和ii证明我们已经知道：。假定对于，我们能够分别掉换的次序，使得这个同构映射保持与间的同构映射，并且在这个同构映射之下，设在里这里是的一个最高系数为1的不可约多项式。由引理1，在里而是的一个最高系数为1的不可约多项式。FFknii和1212,,,,,,kkLFFLFF1,2,,iiikLx12kkkfxxxxpxgxkpxLxLx12kkkfxxxxpxgxkpxLx在和里，因子进一步分别分解为和。分别掉换和的次序，不妨假定于是由引理2，这个同构映射保持与间的同构映射，并且在这个同构映射下证完12,,,nF12,,,nFkkkkpxgxpxgx和1knxx1knxx1,,kn1,,kn110,0kkkkpp11211211,,,,,,kkkkLFFLFF1,2,,1iiik我们知道，一个n次多项式在一个域最多有n个根（Ⅳ），6，推论1）。分裂域的存在定理告诉我们，域上多项式在的某一个扩域里一定有n个根。分裂域的唯一存在定理告诉我们，用不同方法找到的的两组根，抽象地来看，没有什么区别这样，给了任何一个域和上一个n次多项式，我们总可以谈论的n个根。因此，分裂域的理论在一定意义下可以代替所谓代数基本定理。FfxFfxFFfxfx在域上一个多项式在分裂域里，并不是只有可以分解成一次因子的乘积。我们有以下重要的Ffxfx定理4令E是多项式在域上的分裂域，而是E的一个任意元。那么在上的极小多项式在E里分解为一次因子的乘积。fxFF证明令在域上的分裂域是假定在上的极小多项式不能在里分解为一次因子的乘积。那么在里而是中最高系数为1的不可约多项式，且的次数m大于1。做单扩域fxF12,,,nEFFgxExEx1gxxpxgxpxExpx12,,,,nEEF使得我们看一看由于根据Ⅴ，2，定理4，有因而由引理1，有而且在这个同构映射这下这样，由定理3，在上的分裂域与在上的分裂同构。但是在上的一个分裂域而是在上的一个分裂域。0pF10gpgFFFxFxfxfxfxFfxF1,,,nFfxF1,,,nFfxF因此但是我们显然有由于，这是一个矛盾。证完。在下两节中我们要用到分裂的理论来讨论两种特殊类型的域11,,,,,,nnFE11,,,:,,,:nnFFEF1,,,::::nFFEEEFmEF1,,,::nFFEF1m