近世代数课件--5.5.有限域

§5.有限域我们要讨论的第一中特殊类型的域是有限域。有限域在实验设计和编程理论中都有应用。定义一个只有限个元素的域叫做一个有限域。例如，特征是p的素域就是一个有限域。先看一看，一个有限域应该有什么性质。np定理1一个有限域E有一元素，这里p是E的特征而n是E在它的素域△上的次数。证明E的特征一定是一个素数p，不然的话，E所含的素域已经有无限多个元，而E不可能是一个有限域。把E所含的素域记作△。因为E只含有限个元，所以它一定是△的一个有限扩域而。这样，E的每一个元可以唯一地写成的形式，这里，而是向量空间E在△上的一个基。由于△只有p个元，所以对于每一个有p种选择法，因而E一共有个元。证完。:En1122nnaaaia12,,,nianp定理2令有限域E的特征是素数p，E所含素域是△，而E有个元。那么E是多项式在△上的分裂域。任何两个这样的域都同构。nqpqxx证明E的不等于零的元对于乘法来说，作成一个群。这个群的阶是，单位元是1。所以由于，所以有因此，用来表示E的元，在E里多项式1q11,,0qE00q,qE12,,,q1qqiixxxa而且显然这样，E是多项式在△上的分裂域。但特征为p的素域都同构，而多项式在同构的域上的分裂域也同构，所以任何有个元素的有限域都同构。证完。12,,,qEqxxqxxnp现在我们证明有限域的存在。定理3令△是特征为p的素域，而。那么多项式在△上的分裂域E是一个有q个元的有限域。1nqpnqxx证明，这里是在域E里的根。由于E的特征是p，的导数所以与互素。这样，由Ⅳ，6，推论2，的q个根都不相同。我们断言，的这q个根作成E的一个子域。这是因为，由Ⅲ，4，12,,,qEiaqfxxxfx111nqfxpxfxfxfxfx1Enpnnppijijij0nnnppiiijpjjj这就是说，和仍是的根而属于，因而是E的一个子域。但含△，也含一切，所以就是多项式在△上的分裂域。这样，而E恰好有q个元。证完。ij0ijjfx1E1E1Ei1Eqxx1EE以上证明了，给了素数p和正整数n，有而且（抽象地来看）只有一个恰好含个元的有限域存在。我们知道，单扩域是比较容易掌握的一种扩域现在我们要进一步证明，一个有限域一定是它所含素域的一个单扩域。我们先证明np引理令G是一个有限交换群，而m是G的元的阶中最大的一个。那么m能被G的每一个元整除。证明容易看出：若和b是G的两个元，的阶是，b的阶是，而，那么的阶是（参看Ⅱ，9，习题3）。假定G的元c的阶n不能被m。那么有素数p存在，使令m是元d的阶。于是于是根据前面的结论，这与m是G的元的阶中最大的一个的假设矛盾。证完。aa1l2l12,1llab12ll11,,1impmpm1,jnpnji11ipnjadmbcp的阶是的阶是1jabpmm的阶是定理4一个有限领域E是它的素域△的一个单扩域。证明设E含有q个元。E的非零元对于E的乘法来说作成一个交换群G，它的阶是。令m是G的元的阶中最大的一个，那么由引理这就是说，多项式至少有个不同的根。因此由Ⅳ，6，推论，但由Ⅱ，9，定理3，由以上两个式子得。这就是说，G有一个元，它的阶是，因而G是一个循环群：。这样，E是添加于△所得单扩域：证完1q1,miiaaG对于任意1mx1q1mq1mq1mq1qGaE