2015高考数学(人教A版)一轮课件：12-3离散型随机变量及其分布列(理)

第三节离散型随机变量及其分布列(理)考点考纲要求考查角度离散型随机变量的特点、分布列1.了解随机变量的意义；明确什么是离散型随机变量2.理解离散型随机变量及其分布列的概念；了解分布列、均值对于刻画随机现象的重要性3.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单应用以生活中具体事例为背景，在生产、生活中的应用及阅读理解能力1.纵观近几年的高考试题，对本部分的考查多以解答题为主，题目侧重于对离散型随机变量的期望与方差的考查．2．命题切入点：以实际问题为背景，注重学科内知识的综合，离散型随机变量的期望与方差的求法是考查的重点．在2015年的高考中，随机变量的期望与方差是必考内容，而且是以解答题的形式出现．1.离散型随机变量的分布列(1)离散型随机变量的分布列若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnP……p1p2pipn称为离散型随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时为了表达简单，也用等式表示X的分布列．P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n(2)离散型随机变量分布列的性质①；②；③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于这个范围内每个随机变量值的概率．pi≥0，i＝1,2，…，n之和ni＝1pi＝12．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布若随机变量X的分布列是X01Pp1－p则这样的分布列称为两点分布列．如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从.分布，而称p＝P(X＝1)为成功概率．两点(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为，，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称分布列P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnNk＝0,1,2，…，mX01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从.超几何分布1.抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是()A．2颗都是4点B．1颗是1点，另1颗是3点C．2颗都是2点D．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点解析：由题知，D正确．答案：D2．袋中有3个白球，5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()A．至少取到1个白球B．至多取到1个白球C．取到白球的个数D．取到的球的个数解析：选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.答案：C3．随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝ann＋1(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(12＜X＜52)的值为()A.23B.34C.45D.56解析：由题意得a1×2＋a2×3＋a3×4＋a4×5＝1，a(1－12＋12－13＋…＋14－15)＝4a5＝1，a＝54，P(12＜X＜52)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝a1×2＋a2×3＝2a3＝56.答案：D4．若离散型随机变量X的分布列为：X01P9c2－c3－8c则常数c的值为()A.23或13B.23C.13D．1解析：由9c2－c≥0，3－8c≥0，9c2－c＋3－8c＝1得c＝13.答案：C5．袋中有3个红球、2个白球，从中任取2个，用X表示取到的白球个数，则X的分布列为()A.X0123PC03C22C23C13C12C23C23C02C25C33C25B.X0123PC03C25C13C25C23C25C33C25C.X012PC02C25C12C25C22C25D.X012PC23C02C25C13C12C25C03C22C25解析：X取值为0,1,2，且服从超几何分布，故选D.答案：D题型一离散型随机变量分布列的性质【例1】设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．[解]由分布列的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表为：X012342X＋113579|X－1|10123从而由上表得两个分布列为：(1)2X＋1的分布列：2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的分布列：|X－1|0123P0.10.30.30.3[方法·规律]1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．2．若X是随机变量，则2X＋1，|X－1|等仍然是随机变量，求它们的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列，注意在求|X－1|＝1的概率时有两种情况，即P(|X－1|＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)．[变式1]设随机变量X只能取5,6,7，…，16这12个值，且取每一个值的概率均相等，则P(X＞8)＝________.若P(X＜x)＝112，则x的范围是________．解析：∵X取每一个值的概率都相等．∴P(X＞8)＝P(X＝9)＋P(X＝10)＋P(X＝11)＋P(X＝12)＋…＋P(X＝16)＝812＝23.(或P(X＞8)＝1－P(X≤8)＝1－P(X＝8)－P(X＝7)－P(X＝6)－P(X＝5)＝23)若P(X＜x)＝112，则P(X＜x)＝P(X＝5)．∴x∈(5,6]．答案：23(5,6]题型二求离散型随机变量的分布列【例2】已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列．[解]ξ可能取的值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C23C24C24C26＝15，P(ξ＝1)＝C13C24＋C23C12C14C24C26＝715，又P(ξ＝3)＝C13C24C26＝130，∴P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝1－15－715－130＝310.∴ξ的分布列为ξ0123P15715310130[方法·规律]求概率分布(分布列)的一般步骤为：(1)确定X可取哪些值；(2)P(X＝k)的确定(利用排列、组合和等可能事件的概率公式或互斥事件、对立事件的概率公式或相互独立事件、独立重复试验的概率公式)；(3)列出分布列(一般用表格形式)；(4)检验分布列(用它的两条性质验算)．[变式2](2014·广东珠海摸底)一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)若袋中共有10个球．①求白球的个数；②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列．(2)求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710，并指出袋中哪种颜色的球个数最少．解：(1)①记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－C210－xC210＝79，解得x＝5，故白球有5个．②随机变量ξ的取值为0,1,2,3，分布列是ξ0123P112512512112(2)证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得y＝25n，所以2yn,2y≤n－1，故yn－1≤12.记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个黑球”为事件B，则P(B)＝25＋35×yn－1≤25＋35×12＝710.所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n，红球的个数少于n5.故袋中红球个数最少．题型三超几何分布【例3】(2014·北京朝阳期末)一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数X的概率分布．(1)每次取出的产品不再放回去；(2)每次取出的产品仍放回去；(3)每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中．[解](1)由于总共有7件正品，3次次品，所以，X的可能取值是1,2,3,4，取这些值的概率分别为P(X＝1)＝710，P(X＝2)＝310×79＝730，P(X＝3)＝310×29×78＝7120，P(X＝4)＝310×29×18×77＝1120.所以，X的概率分布为：X1234P71073071201120(2)由于每次取出的产品仍放回去，下次取时完全相同，所以，X的可能取值是1,2，…，k，…，相应的取值概率是：P(X＝1)＝710，P(X＝2)＝310×710＝21100，P(X＝3)＝310×310×710＝631000，…P(X＝k)＝(310)k－1710.所以，X的概率分布为：X123…k…P71021100631000…(310)k－1710…(3)与情况(1)类似，X的可能取值是1,2,3,4，而其相应概率为：P(X＝1)＝710，P(X＝2)＝310×810＝625，P(X＝3)＝310×210×910＝27500，P(X＝4)＝310×210×110×1010＝3500.所以，X的分布列为X1234P710625275003500[方法·规律]超几何分布是一种很重要的分布，其理论基础是古典概型，主要运用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型，其中的随机变量相应是正品(或次品)的件数、某种小球的个数．如果一随机变量ξ服从超几何分布，那么事件{ξ＝k}发生的概率为P(ξ＝k)＝CkMCn－kN－MCnM，k＝0,1,2，…，m.[变式3]有10件产品，其中3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得次品数X的分布列．解：X的所有可能取值为0,1,2,3，X＝0表示取出的5件产品全是正品，P(X＝0)＝C03C57C510＝21252＝112；X＝1表示取出的5件产品有1件次品4件正品，P(X＝1)＝C13C47C510＝105252＝512；X＝2表示取出的5件产品有2件次品3件正品，P(X＝2)＝C23C37C510＝105252＝512；X＝3表示取出的5件产品有3件次品2件正品，P(X＝3)＝C33C27C510＝21252＝112；所以X的分布列为X0123P112512512112用分布列出错【例1】(2014·汉中一模)有一公用电话亭，在观察使用这个电话的人流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P(n)，且与时刻t无关，统计得到：P(n)＝12n·P00≤n≤5，0n≥6，那么在某一时刻，这个电话亭一个人也没有概率P(0)的值为________．[错解]由P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＝1，即P(0)12＋14＋18＋116＋132＝1，可得P(0)＝3231.由于P(0)不可能大于1，因此，P(0)＝1.[剖析]条件中P(n)实际上是给出了分布列，随机变量的取值是0,1,2,3,4,5；错解在应用分布列时出错，漏掉随机变量可取0的情况．因而，造成求出P(0)大于1的结果．[正解]由P(0)＋P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＝1，得P(0)1＋12＋14＋18＋116＋132＝1，由此可得P(0)＝3263.性质应用错误【例2】(2014·湘潭二模)设X是一个离散型随机变量，则下列不能够成为X的概率分布列的是()A．0,0,0,1,0B．0.1,0.2,0.3,0.4C．p,1－p(p∈R)D.11×2，12×3，…，1nn－1，1n(n∈N*)[错解]选项A，B显然满足两条基本性质，适合；而选项C中，由于p是实数，不妨取p＝3，显然1－p＝－20不符合非负性；至于选项D，由于存在变量n，因而各项和受n的变化所影响，不合性质2.故答案为C、D两个选项．[剖析]错解对选项A，B，C的分析是正确的；而对选项D，裂项则有11×2＋12×3＋…＋1nn－1＋1n＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＋1n＝1，又1nn－1∈(0,1)，1n∈(0,1)，满足分布列两个性质，因此也是适合的．[正解]通过上述分析知答