第二节 拉氏变换公式

第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础第二节拉氏变换第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础设函数f(t)满足：1.f(t)实函数；2.当t0时，f(t)=0；3.当t0时,f(t)在每个区间上是分段连续的3.f(t)的积分在s的某一域内收敛，s为复变数0)(dtetfst一、拉氏变换的定义则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：s=σ+jω（σ，ω均为正实数）；F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数;f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。（2－9）第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础拉氏反变换的定义其中L－1为拉氏反变换的符号。ste称为收敛因子。积分的结果不再是t的函数，而是复变量s的函数。所以拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变换到s域内的复变函数F(s)。jcjcstdsesFjsFL)(21)]([1用符号L-1[]表示对方括号里的复变函数作拉氏反变换。（2－10）（2－11）第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础阶跃函数的拉氏变换二、典型函数的拉氏变换)()1()](1[)(0stdsetLSFst（2－12）第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础斜坡函数单位速度函数的拉氏变换（2－13）第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础幂函数拉氏变换（法1）nt10()xxedx根据函数则(1)()!nnnn令ust11001![]nnstnunnnLttedtueduss（2－14）第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础幂函数的拉氏变换（法2）（2－15）第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础抛物线函数单位加速度函数拉氏变换（2－16）第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础洛必达法则单位脉冲函数拉氏变换（2－17）第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础指数函数的拉氏变换（2－18）第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础例2-1：求解函数的拉氏变换第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础（欧拉公式）三角函数的拉氏变换（2－19）（2－20）第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础例2-2：求解函数的拉氏变换第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础高等函数初等函数指数函数三角函数单位脉冲函数单位阶跃函数单位速度函数单位加速度函数幂函数典型函数的拉氏变换小结1![]nnnLts第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础例2-3：求解函数的拉氏变换第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础三、拉氏变换的主要运算定理线性定理微分定理积分定理位移定理延时定理卷积定理初值定理终值定理第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础比例定理线性定理叠加定理第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础L[K(1-e-at)]=L[K]-L[Ke-at]sKasK)(assKa结论：由此可见，根据拉氏变换的线性性质，求函数乘以常数的象函数以及求几个函数相加减的结果的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行计算。例2-4：求以下函数的拉氏变换：f(t)=K(1-e-at)第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础微分定理第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础原函数的高阶导数像函数中s的高次代数式多重微分（2－21）第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础解：（1）)cos(t22[sin()]Lts22221sin()[cos()]10dtLtLdtssss1dttd)sin(例2-5：利用导数性质求以下函数的象函数：（1）f(t)=cos(ωt)（2）f(t)=δ(t)第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础（2）由于δ(t)=dε(t)/dt]/)([)]([dttdLtLs1=1f(t)=δ(t)=s-0第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础积分定理第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础原函数的n重积分像函数中除以sn多重积分（2－22）第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础例2-6：利用积分性质求函数f(t)=t的象函数解：f(t)=ttd0)(L[f(t)]=s1s121s第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础原函数乘以指数函数e-at像函数F(S)在复数域中作位移a衰减定理（复位移定理）（2－23）第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础例2-7：求的拉氏变换解：直接用复位移定理得：sintet22sin()tLets求的拉氏变换？costet第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础原函数平移像函数乘以e-s延时定理（实位移定理）0[()]()stLftaftaedta令＝t-()00[()]()()()()saassasLftafedaefedeFs（2－24）第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础Otf(t)T例2-8：求f(t)的象函数解：f(t)==Aε(t)A-Aε(t-T)L[f(t)]=A/s-A/s·e-sTOtf’(t)Otf’’(t)f’(t)+f’’(t)第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础例2-9：求图所示三角波的拉氏变换()ftt2T2TTO从图可知，三角波左边函数斜率为，右边函数斜率为，则分段函数可表示为：124kT224kT1211122122111111112222()()()()()()()()()()()224444()()()22ftftftftftftftTTftftftftTTTttttTTTTT第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础原函数f(t)的稳态性质sF(s)在s=0邻域内的性质终值定理（2－25）第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础初值定理（2－26）第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础证：令()()tLfaFasata则000[()]()()()()stasasttLffedtfedaaaafed再令as则00[()]()()()()astLfafedafedaaFaFas尺度变换定理（2－28）第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础复数域积分定理证：()()sftLFsdst0000()()()1()[]()()[]stssstsstsstFsdsftedtdsftdtedsftdtetftftedtLtt（2－29）第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础例2-10：求如下函数的拉氏变换第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础证：()()dFsLtftds000()[()]()()[()]stststdFsddfteftedtdtdsdsdstftedtLtft复数域微分定理()()()nnndFsLtftds推论：（2－30）第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础例2-11：求如下函数的拉氏变换第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础例2-12：已知因果函数f(t)的象函数22332213(32)39()13ssssfteess2()1sFss求的象函数(32)teft解：由于2()1sfts利用实位移定理由尺度变换定理22(2)1ssftes第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础由复位移定理2(1)321(32)(1)9stseftes第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础练习练习2-1：求如下函数的拉氏变换练习2-2：求如下函数的拉氏变换练习2-3：求如下函数的拉氏变换练习2-4：求如下函数的拉氏变换练习2-5：求如下函数的拉氏变换练习2-6：求如下函数的拉氏变换第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础练习2-7：求如下函数的拉氏变换练习2-8：求如下函数的拉氏变换练习2-9：求如下函数的拉氏变换第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础练习2-1：求如下函数的拉氏变换第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础练习2-2：求如下函数的拉氏变换第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础练习2-3：求如下函数的拉氏变换第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础练习2-4：求如下函数的拉氏变换第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础练习2-5：求如下函数的拉氏变换第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础练习2-6：求如下函数的拉氏变换第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础练习2-7：求如下函数的拉氏变换第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础练习2-8：求如下函数的拉氏变换第二章拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础练习2-9：求如下函数的拉氏变换