【二轮复习.文理通用】专题十三圆锥曲线的综合问题讲义理(含解析)

精品文档1专题十三圆锥曲线的综合问题卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ2018椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、证明问题·T19直线与抛物线的位置关系、弦长问题、抛物线与圆的综合问题·T19直线与椭圆的位置关系、不等式的证明与平面向量综合问题·T202017椭圆的标准方程、直线过定点问题·T20轨迹问题、直线过定点问题·T20直线与抛物线的位置关系、直线方程、圆的方程·T202016轨迹问题、定值问题、面积的取值范围问题·T20直线与椭圆的位置关系、求三角形的面积、参数的取值范围问题·T20直线与抛物线的位置关系、轨迹问题、证明问题·T20纵向把握趋势卷Ⅰ3年3考，难度较大，涉及椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、定点问题、定值问题、轨迹问题、取值范围问题及证明问题．特别注意2018年高考将此综合题前移到第19题，难度降低．这一变化，预计2019年仍会以椭圆为载体考查椭圆方程、直线与椭圆的位置关系以及定点或定值问题卷Ⅱ3年3考，难度偏大，涉及轨迹问题、直线与抛物线的位置关系、直线与椭圆的位置关系、轨迹问题、三角形面积、范围问题以及直线过定点问题．特别注意2018年高考将此综合题前移到第19题，难度降低．这一变化，预计2019年会以椭圆为载体考查弦长问题及弦长取值范围问题卷Ⅲ3年3考，涉及直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系、轨迹问题及证明问题．预计2019年会将抛物线与圆综合考查，考查直线与圆或抛物线的位置关系及其应用问题精品文档2横向把握重点解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现．解答题的热点题型有：(1)直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；(3)轨迹方程及探索性问题的求解.[考法一定点、定值问题]题型·策略(一)|“设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定点问题[例1](2018·南昌模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为－12，求证：直线AB过x轴上一定点．[破题思路]第(1)问求什么想什么求抛物线C的方程，想到求p的值给什么用什么给出焦点F的坐标，利用焦点坐标与p的关系求p第(2)问求什么想什么求证：直线AB过x轴上一定点，想到直线AB的方程给什么用什么题目条件中给出“A，B是抛物线C上异于点O的两点”以及“直线OA，OB的斜率之积为－12”，可设A，B两点的坐标，也可设直线AB的方程差什么找什么要求直线AB的方程，还需要知道直线AB的斜率是否存在，可分类讨论解决[规范解答](1)因为抛物线y2＝2px(p0)的焦点坐标为F(1,0)，所以p2＝1，所以p＝2.精品文档3所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，设At24，t，Bt24，－t.因为直线OA，OB的斜率之积为－12，所以tt24·－tt24＝－12，化简得t2＝32.所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立y2＝4x，y＝kx＋b消去x，化简得ky2－4y＋4b＝0.所以yAyB＝4bk，因为直线OA，OB的斜率之积为－12，所以yAxA·yBxB＝－12，整理得xAxB＋2yAyB＝0.即y2A4·y2B4＋2yAyB＝0，解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32.所以yAyB＝4bk＝－32，即b＝－8k，所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)．综上所述，直线AB过定点(8,0)．[题后悟通]思路受阻分析不能正确应用条件“直线OA，OB的斜率之积为－12”是造成不能解决本题的关键技法关键点拨定点问题实质及求解步骤解析几何中的定点问题实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一精品文档4般可分为以下三步：[对点训练]1．(2018·成都一诊)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点F(3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意得，c＝3，ab＝2，a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝1，∴椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立y＝kx＋m，x2＋4y2＝4消去y，可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.∴Δ＝16(4k2＋1－m2)0，x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－44k2＋1.∵点B在以线段MN为直径的圆上，∴BM―→·BN―→＝0.则BM―→·BN―→＝(x1，kx1＋m－1)·(x2，kx2＋m－1)＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0，∴(k2＋1)4m2－44k2＋1＋k(m－1)－8km4k2＋1＋(m－1)2＝0，整理，得5m2－2m－3＝0，精品文档5解得m＝－35或m＝1(舍去)．∴直线l的方程为y＝kx－35.易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意．故直线l过定点，且该定点的坐标为0，－35.题型·策略(二)|“设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定值问题[例2](2018·沈阳质监)设O为坐标原点，动点M在椭圆x29＋y24＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP―→＝2NM―→.(1)求点P的轨迹E的方程；(2)过F(1,0)的直线l1与点P的轨迹交于A，B两点，过F(1,0)作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C，D两点，求证：1|AB|＋1|CD|为定值．[破题思路]第(1)问求什么想什么求点P的轨迹E的方程，想到建立点P的横坐标x与纵坐标y的关系式给什么用什么题目条件中给出NP―→＝2NM―→，利用此条件建立点P的横坐标与纵坐标的关系式差什么找什么要求点P的轨迹方程，还缺少点P，M，N的坐标，可设点P(x，y)，M(x0，y0)，N(x,0)，然后用x，y表示x0，y0第(2)问求什么想什么要证明1|AB|＋1|CD|为定值，想到利用合适的参数表示|AB|和|CD|给什么用什么题目条件给出过F(1,0)互相垂直的两条直线分别与轨迹E分别交于A，B和C，D两点，用弦长公式可求|AB|和|CD|差什么找什么要求|AB|和|CD|，还缺少直线l1和l2的方程，可设出直线斜率，利用点斜式表示直线方程．但要注意直线斜率不存在的情况精品文档6[规范解答](1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x,0)．∵NP―→＝2NM―→，∴(0，y)＝2(x0－x，y0)，∴x0＝x，y0＝y2.又点M在椭圆上，∴x29＋y224＝1，即x29＋y28＝1.∴点P的轨迹E的方程为x29＋y28＝1.(2)证明：由(1)知F为椭圆x29＋y28＝1的右焦点，当直线l1与x轴重合时，|AB|＝6，|CD|＝2b2a＝163，∴1|AB|＋1|CD|＝1748.当直线l1与x轴垂直时，|AB|＝163，|CD|＝6，∴1|AB|＋1|CD|＝1748.当直线l1与x轴不垂直也不重合时，可设直线l1的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，则直线l2的方程为y＝－1k(x－1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y＝kx－，x29＋y28＝1消去y，得(8＋9k2)x2－18k2x＋9k2－72＝0，则Δ＝(－18k2)2－4(8＋9k2)(9k2－72)＝2304(k2＋1)0，x1＋x2＝18k28＋9k2，x1x2＝9k2－728＋9k2，∴|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝＋k28＋9k2.同理可得|CD|＝＋k29＋8k2.精品文档7∴1|AB|＋1|CD|＝8＋9k2k2＋＋9＋8k2k2＋＝1748.综上可得1|AB|＋1|CD|为定值．[题后悟通]思路受阻分析在解决本题第(1)问时，不能正确应用NP―→＝2NM―→求得点P的轨迹E的方程，导致第(2)问也无法求解，是解决本题易发生的错误之一；在解决第(2)问时，忽视直线斜率的不存在性或不能正确求解|AB|，|CD|都是常见解题失误的原因.技法关键点拨定值问题实质及求解步骤定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题．其求解步骤一般为：[对点训练]2．已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为32.(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，点D为x轴上一点，过点D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过点D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为定值，并求出该定值．解：(1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，精品文档8由题意得a＝2，ca＝32，b2＋c2＝a2，解得b＝1，c＝3，所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)证明：法一：设D(x0,0)，M(x0，y0)，N(x0，－y0)，－2x02，所以kAM＝y0x0＋2，因为AM⊥DE，所以kDE＝－2＋x0y0，所以直线DE的方程为y＝－2＋x0y0(x－x0)．因为kBN＝－y0x0－2，所以直线BN的方程为y＝－y0x0－2(x－2)．由y＝－2＋x0y0x－x0，y＝－y0x0－2x－，解得E45x0＋25，－45y0，所以S△BDES△BDN＝12|BD|·|yE|12|BD|·|yN|＝－45y0|－y0|＝45.故△BDE与△BDN的面积之比为定值45.法二：设M(2cosθ，sinθ)(θ≠kπ，k∈Z)，则D(2cosθ，0)，N(2cosθ，－sinθ)，设BE―→＝λBN―→，则DE―→＝DB―→＋BE―→＝DB―→＋λBN―→＝(2－2cosθ，0)＋λ(2cosθ－2，－sinθ)＝(2－2cosθ＋2λcosθ－2λ，－λsinθ)．又AM―→＝(2cosθ＋2，sinθ)，由AM―→⊥DE―→，得AM―→·DE―→＝0，从而[(2－2cosθ)＋λ(2cosθ－2)](2cosθ＋2)－λsin2θ＝0，整理得4sin2θ－4λsin2θ－λsin2θ＝0，即5λsin2θ＝4sin2θ.精品文档9所以λ＝45，所以S△BDES△BDN＝|BE||BN|＝45.故△BDE与△BDN的面积之比为定值45.[考法二圆锥曲线中的最值和范围问题]题型·策略(一)|构建目标不等式解最值或范围问题欲求变量的取值范围，可设法构造含有变量的不等式(组)，通过解不等式(组)来达到目的．利用题目中隐藏的已知参数的范围构建不等式[例1]已知A是椭圆E：x2t＋y23＝1(t3)的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．[破题思路]第(1)问求什么想什么求△AMN的面积，想到三角形的面积公式S＝12×底×高或S＝12absinC给什么用什么题目条件中给出“MA⊥NA，|AM|＝|AN|”，得△AMN为等腰直角三角形，故可利用面积S＝12|AM||AN|求解差什么找什么到此就缺少|AM|，|AN|的值，由于A点已知，故想法求M，N的坐标第(2)问求什么想什么求k的取值范围，想到建立关于k的不等式给什么用什么题目条件中给出2|AM|＝|AN|，可利用此条件建立t与k的关系式差什么找什么缺少关于k的不等式，想到t3即可建立k的不等式[规范解答]精品文档1