二重积分的计算

目录上页下页返回结束*三、二重积分的换元法第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算法第十章目录上页下页返回结束Oy)(1yx)(2yxxdc且在D上连续时,0),(yxf当被积函数bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X-型区域则O)(1xy)(2xyxbyDax若D为Y-型区域dycyxyD)()(:21yxyxfyyd),()()(21dcyd则一、利用直角坐标计算二重积分目录上页下页返回结束当被积函数),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于目录上页下页返回结束xyOxyDO说明:(1)若积分区域既是X-型区域又是Y-型区域,Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.)(2xyba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2)若积分域较复杂,可将它分成若干2D1D3DX-型域或Y-型域,321DDDD则目录上页下页返回结束121221dy例1.计算,dDyxI其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.解法1.将D看作X-型区域,则:DI21dxyyxd21dx2121321dxxx891221xyx解法2.将D看作Y-型区域,则:DIxyxd21dyyyx222121321d2yyy891xy2xy121x2xy21yxyxyxyO目录上页下页返回结束解：原式21.111222所围成的闭区域和、是由直线其中计算例yxxyDdyxyDdxdyyxyx111221dxydyxx111222)(121dxyxx1112322)1(31dxx113)1(31dxx103)1(32目录上页下页返回结束例3.计算,dDyx其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,:DxyxdDyxd21dy212221d2yyxyy2152d])2([21yyyyDxy22xy214Oyxy22yxy21y2y2y及直线则目录上页下页返回结束例4.计算,ddsinDyxxx其中D是直线所围成的闭区域.OxyDππxxy解:由被积函数可知,因此取D为X-型域:π00:xxyDDyxxxddsinxy0dπ0dsinxx2π0dsinxxx先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.目录上页下页返回结束例5.计算其中D由,42xy1,3xxy所围成.Oyx124xyxy32D1D1x解:令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224目录上页下页返回结束例6.求两个底圆半径为R的直交圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222RzxxyzRRO目录上页下页返回结束二、利用极坐标计算二重积分Oxkkkrrkkkkkkrrsin,cos对应有在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积k),,2,1(nkk在k),,(kkrkkkkrrkkkr221内取点kkkrr221)(及射线=常数,分划区域D为kkrkrkrkO目录上页下页返回结束kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(drrddrdO目录上页下页返回结束)(rDOxD)(1r)(2rOx)()(21d)sin,cos(rrrrf设)(2O)(1,)()(:21rD则DrrrrfIdd)sin,cos(d特别,对π20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrfπ20d)(1r)(2rOxD)()(2021)sin,cos(drrrrfdI目录上页下页返回结束此时若f≡1则可求得D的面积d)(21π202Dd思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:;π0)1(问的变化范围是什么?(1)(2)2π2π)2()(rDyxO)(rDyxO)(rDOx目录上页下页返回结束AoD)(.)sin,cos()(0dfd二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图,).(0Dddf)sin,cos(目录上页下页返回结束例7.计算其中.:222ayxD解:在极坐标系下,π200:arD原式Drrarde02)e1(π2a2ex的原函数不是初等函数,故本题无法用直角ddrrπ20d由于故坐标计算.目录上页下页返回结束注:利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式2πde02xx事实上,π①故①式成立.又目录上页下页返回结束例3求广义积分02dxex.解}|),{(2221RyxyxD}2|),{(2222RyxyxD}0,0{yx}0,0|),{(RyRxyxS显然有21DSD,022yxe122DyxdxdyeSyxdxdye22.222Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2)e1(π2a目录上页下页返回结束又SyxdxdyeI22RyRxdyedxe0022;)(202Rxdxe1I122DyxdxdyeRrrdred0022);1(42Re同理2I222Dyxdxdye);1(422Re目录上页下页返回结束当R时,,41I,42I故当R时,,4I即20)(2dxex4,所求广义积分02dxex2.,21III);1(4)()1(4222220RRxRedxee目录上页下页返回结束方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.zyxaC例8.求球体被圆柱面xayx222所截得的(含在柱面内的)立体的体积.维维安尼曲线目录上页下页返回结束例8.求球体被圆柱面xayx222所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知2π0,cos20:arDdd4422rrraVDcos2022d4arrra)322π(3323axya2DOcos2rxyza2O目录上页下页返回结束*三、二重积分换元法baxxfd)())((txtttfd)()]([定积分换元法),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(满足上在Dvuyvux),(,),()1(一阶偏导数连续;雅可比行列式上在D)2(;0),(),(),(vuyxvuJ(3)变换DDT:则Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf)),(),,((定理:,),(上连续在闭域设Dyxf变换:是一一对应的,vuvuJdd),(OvuDTyxDO目录上页下页返回结束yxDOuOvD证:根据定理条件可知变换T可逆.用平行于坐标轴的,坐标面上在vOu直线分割区域,D任取其中一个小矩T形,其顶点为),,(,),(21vhuMvuMuhu1M4M3M2Mvkv通过变换T,在xOy面上得到一个四边形,其对应顶点为)4,3,2,1(),(iyxMiii1M4M3M2M,22kh令则12xx),(),(vuxvhux).,(,),(43kvuMkvhuM)(),(ohvuux目录上页下页返回结束14xx),(),(vuxkvux)(),(okvuvx12yy)(),(ohvuuy同理得14yy)(),(okvuvy当h,k充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四边形,故其面积近似为4121MMMM14141212yyxxyyxxkhkhvyvxuyuxhkvyuyvxuxhkvuJ),(目录上页下页返回结束vuvuJdd),(d因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf)),(),,((vuvuJdd),(例如,直角坐标转化为极坐标时,sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos(目录上页下页返回结束例9.计算其中D是x轴y轴和直线所围成的闭域.解:令,,xyvxyu则2,2uvyuvx),(),(vuyxJvuvuDdde211ee2121212121xyxye,ddyx)(DD2yxDxyOD2vvuvuuvO目录上页下页返回结束uvOybx2yax2DOyxxqy2xpy2,,22yxvxyu例10.计算由所围成的闭区域D的面积S.解:令Dpqab则bvaqupD:D),(),(vuyxJ),(),(1yxvu31DyxSddbaqpvudd31vuJDdd))((31abpq目录上页下页返回结束例11.试计算椭球体解:yxcDbyaxdd122222由对称性,1:2222byaxD取令,sin,cosrbyrax则D的原象为π20,1:rD),(),(ryxJcossinsincosrbbraarrrcbad1d2102π20cbaπ34rba的体积V.目录上页下页返回结束内容小结(1)二重积分化为二次积分的方法直角坐标系情形:•若积分区域为则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf•若积分区域为则)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy)(2xyyxybaDOxy)(1yxxDdc)(2yxxO目录上页下页返回结束DDrrfyxf)sin,cos(d),(则(2)一般换元公式),(),(vuyyvuxxDyx)