《高等工程数学》习题一参考答案

1《高等工程数学》习题一参考答案（姚仰新，罗家洪，庄楚强，华南理工大学出版社）由于时间仓促，错误难免，请把意见发到[e-mail]，谢谢.1、解析：判断一个集合V能否构成数域P上的线性空间，只需验证定义1.1中的加法与数乘封闭且满足8条规则，其中加法和数乘的定义如例1.1所示。(1)是，因为加法与数乘封闭，满足8条规则；(2)不是，因为加法和数乘都不封闭。如对于P，),,,(21naaaV，有1)(21naaa。(3)是，因为加法与数乘封闭，满足8条规则。注意教材印刷有误，应为Tn),,,(21x，为列向量。2、由定义1.1，按矩阵的加法与数乘，验证满足8条规则即可。1)、2)、3)都是线性空间。3、解：由第5页(1.2)式定义，设332211εεεα，解出),,(321，即可得α在基321,,εεε下的坐标。求解过程可借助于软件Mathematica和MATLAB等。1)求),,(321等价于解121111111111321，得)21,21,1(。2)求),,(321等价于解173025133361321，得)154,82,33(。4、1）由第6页过渡矩阵定义，A43214321,,,,,,ααααββββ，又44321,,,Iαααα为单位阵，所以3101121163316502],,,[4321TTTTAββββ。2）由(1.10)可得43211'4'3'2'1A，所以.27263191277,3231,27233194271,91131944321'441'34321'24321'123）若坐标相同，不妨设均为04321，由（1.9）得，432143214AI，所以0000)(43214AI，行变换（rref(eye(4)-A)或RowReduce[IdentityMatrix[4]-A]）化简可得000000001100101010014321，所以对两组基有相同坐标的非零向量可取为).0)(,,,(ccccc5.由第7页子空间定义可得，1）向量满足加法和数乘封闭，是子空间；2）向量不满足加法或数乘封闭，故而不是子空间。注：从几何上看，子空间过原点，而不过原点的都不是。6.两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价，即可以互相线性表示。解：因对应分量不成比例，故)1,1,0,1(),0,0,1,1(21αα，)1,1,0,1(),0,0,1,1(21ββ线性无关，又00000000131002111310131011010211)',',','(2121行简化ββαα，于是.2),,,(),(),(21212121ββααββααRRR所以，向量组21,αα与21,ββ等价，得证。7.先求WV的解，行约简后得1010010111111111A，所以一组基为)0,1,0,1(与)1,0,1,0(。8.0000011000101101010111011303121100041321)',',',','(21321ββααα,所以21VV的维数为3，基可取为121,,βαα或221,,βαα。9.略。10.解：),(),(),(),(),(),)((212121122122112121xxxxxxxxxxTxxTxxTT，3),(),()],([),(1221121212121xxxxTxxTTxxTT，),(),()],([),(1212221122112xxxxTxxTTxxTT11.略。12.解：1）因为),,2(),,(13221321xxxxxxxxT，按照P18(1.21)，可知3211102)1,0,2()0,0,1(εεεεTT，321201)0,1,1()0,1,0(εεεεTT，3213010)0,1,0()1,0,0(εεεεTT，写称矩阵形式为001110012,,,,321321εεεεεεTTT，所以线性变换T在基321,,εεε下的矩阵为001110012A。2）由题设线性变换T在基321,,ηηη下的矩阵为121011101B，又111101011),,(),,(321321εεεηηη，故基321,,εεε到321,,ηηη的过渡矩阵为111101011C，321,,ηηη到321,,εεε的过渡矩阵为1011101111C，由P19定理1.13可得该线性变换T在基321,,εεε下的矩阵为2030222111011101111210111011111010111CBCA。13.按P21欧氏空间定义2.1，逐条验证，1）不满足第（2）条，（4）条，故不是欧氏空间;2)不满足第（4）条，故不是欧氏空间；3）都满足，故是欧氏空间。14.按P21欧氏空间定义2.1，逐条验证，都满足，故是欧氏空间。15.设向量),,,(4321xxxx与三个向量正交，则有4.032,0,0432143214321xxxxxxxxxxxx等价于.031,0,03443241xxxxx，所以可取向量为)3,1,0,4(，标准化且考虑两个方向可得)3,1,0,4(261。16.设0αααnnxxx2211，则.,,2,1,0),(),(2211nixxxinni0ααααα整理得,0),(),(),(,0),(),(),(,0),(),(),(221122221121221111nnnnnnnnnxxxxxxxxxαααααααααααααααααα，由Cramer法则，上述线性方程组只有零解的充要条件是系数行列式不等于零，即向量组线性无关的重要条件是0),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nnnnnnαααααααααααααααααα。17.证明：令)1,,1,1(x，),,,(21naaay，由Cauchy-Schwarz不等式，),)(,(),(2yyxxyx，可得niiniiana1221，即niiniiana121。18.证明：因为标准正交基321,,eee到向量组321,,ααα的变换T对应的矩阵为22121212231A，显然IAAAATT，为正交阵，由P28定理2.6可知，321,,ααα也是一组标准正交基。19.解：系数矩阵51110410011011131112A，可得基础解系为)0,0,1,1,0(1f,)0,1,0,1,1(2f，)1,0,0,5,4(3f，Schmidt正交化得，5)0,0,1,1,0(11fe，)0,1,21,21,1(),/(),(1111222eeeeffe，)1,513,56,56,57(),/(),(),/(),(222231111333eeeefeeeeffe再标准化，得标准正交基为，)0,1,1,0(211g，)0,2,1,1,2(1012g，)5,13,6,6,7(31511g20.略。21.解：设3322113)(ααααxxxT，由定理2.6可得321,,αααTTT也是标准正交基，由内积的运算性质和321,,ααα为标准正交基的性质，所以0),(31ααTT，0),(32ααTT，1),(),(3333ααααTT，即103231320313232232221321321xxxxxxxxx，解得,32,32,31321xxx或者.32,32,31321xxx22.略。23.略。24.略。25.证明：设nnCA为复方阵，显然22HHAAAAA，显然22HHHAAAA为厄米特阵，22HHHAAAA为反厄米特阵。得证。26.解：1）(借鉴例2.8)在数学软件Mathematica中，Eigensystem可以用来求矩阵的特征值和特征向量。如，输入A={{-1,I,0},{-I,0,-I},{0,I,-1}};Eigensystem[A]按Shift+Enter组合键运行可得矩阵A的特征值和特征向量：{{-2,-1,1},{{1,,1},{-1,0,1},{1,-2,1}}}。按照Schmidt正交化，单位化，即可得酉矩阵P。In[1]:=A={{-1,I,0},{-I,0,-I},{0,I,-1}};Eigensystem[A]Out[2]={{-2,-1,1},{{1,I,1},{-1,0,1},{1,-2I,1}}}In[3]:=f1={1,I,1};f2={-1,0,1};f3={1,-2I,1};f1h={1,-I,1};f2h={-1,0,1};f3h={1,2I,1};6In[5]:=e1=f1e2=f2-f2.f1h/(f1.f1h)e1e3=f3-f3.f1h/(f1.f1h)e1-f3.f2h/(f2.f2h)e2Out[5]={1,I,1}Out[6]={-1,0,1}Out[7]={1,-2I,1}In[8]:=g1=e1/Norm[e1]g2=e2/Norm[e2]g1=e3/Norm[e3]Out[8]={1/Sqrt[3],I/Sqrt[3],1/Sqrt[3]}Out[9]={-(1/Sqrt[2]),0,1/Sqrt[2]}Out[10]={1/Sqrt[6],-ISqrt[2/3],1/Sqrt[6]}In[15]:=P=Transpose[{g1,g2,g3}]//MatrixFormOut[15]//MatrixForm=1312163023131216即得酉矩阵为6121316203612131iiP。如果采用MATLAB，也可得结果，只是不能像Mathematica那样给出解析形式。MATLAB代码如下：A=[-1i0;-i0-i;0i-1]A=-1.00000+1.0000i00-1.0000i00-1.0000i00+1.0000i-1.0000[VD]=eig(A)V=-0.5774-0.70710.40820-0.5774i0+0.0000i0-0.8165i7-0.57740.70710.4082D=-2.0000000-1.00000001.0000MATLAB的求特征值和特征向量的命令eig的返回结果中，V即是所求的酉矩阵P。注意：MATLAB中，转置命令“’”对于