二阶系统的阶跃响应结论

第4章自动控制系统的时域分析主讲教师：朱高伟自动控制原理第4章自动控制系统的时域分析主要内容自动控制系统的时域指标一阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应高阶系统的阶跃响应自动控制系统的代数稳定判据稳态误差小结学习重点了解典型信号和自动控制系统时域指标的定义；掌握一阶和二阶系统分析与暂态性能指标计算方法；建立系统参数与系统暂态响应之间的对应关系；了解系统参数对系统暂态性能指标的影响，能够定性分析高阶系统的暂态响应过程；理解和掌握线性控制系统稳定的充要条件，会用劳斯判据判断系统的稳定性；理解稳态误差的概念，了解系统参数对系统误差的影响，熟练掌握误差传递函数和稳态误差的计算方法。第4章自动控制系统的时域分析第4章自动控制系统的时域分析1.分析方法时域、频域2.时域分析的目的设法从微分方程判断出系统运动的主要特征而不必准确地把微分方程解出来，从工程角度分析系统运动规律。4.1自动控制系统的时域指标1.对控制性能的要求(1)系统应是稳定的；(2)系统达到稳定时，应满足给定的稳态误差的要求；(3)系统在暂态过程中应满足暂态品质的要求。4.1自动控制系统的时域指标2.自动控制系统的典型输入信号（1）阶跃函数000)(tAttxr，，A=1时称为单位阶跃函数，)()()(1)(tutxttxrr，或stLsXr1)](1[)(4.1自动控制系统的时域指标（2）斜坡函数A=1时称为单位斜坡函数000)(tAtttxr，，21()rXss4.1自动控制系统的时域指标（3）抛物函数当A=1/2时，称为单位抛物线函数000)(2tAtttxr，，31)(ssXr4.1自动控制系统的时域指标（4）脉冲函数0(0)()00(0)rAtxttt，，，()1rXs当A=1时，称为单位脉冲函数（t）1)(dtt()1dttdt4.1自动控制系统的时域指标（5）正弦函数用正弦函数作输入信号，可以求得系统对不同频率的正弦输入函数的稳态响应，由此可以间接判断系统的性能。4.1自动控制系统的时域指标本章主要以单位阶跃函数作为系统的输入量来分析系统的暂态响应。在工程上，许多高阶系统常常具有近似一、二阶系统的时间响应。因此，深入研究一、二阶系统的性能指标，有着广泛的实际意义。4.2一阶系统的阶跃响应1.一阶系统的数学模型()11()1()111cBrKXsKsWsKXssKTsssK4.2一阶系统的阶跃响应2.一阶系统的单位阶跃响应ssXr1)(sTssXsWsXrBc111)()()(TssLsTsLtxc111111)(11)0(,1)(1tetxtTc4.2一阶系统的阶跃响应ts=3T(s)，（对应5%误差带）ts=4T(s)，（对应2%误差带）系统的时间常数T越小，调节时间ts越小，响应过程的快速性也越好。4.2一阶系统的阶跃响应例3-1一阶系统的结构如下图所示。试求该系统单位阶跃响应的调节时间ts；如果要求ts(5%)0.1(秒)，试问系统的反馈系数应取何值？4.2一阶系统的阶跃响应解：（1）首先由系统结构图写出闭环传递函数100()10()100()0.1110.1cBrXssWsXsss得T=0.1（s）因此得调节时间ts=3T=0.3(s)，（取5%误差带）4.2一阶系统的阶跃响应(2)求满足ts(5%)0.1（s）的反馈系数值。假设反馈系数Kt(Kt0)，那么同样可由结构图写出闭环传递函数1001/()1000.0111tBttKsWsKssK由闭环传递函数可得T=0.01/Kt根据题意要求ts(5%)0.1（s）则ts=3T=0.03/Kt0.1(s)所以Kt0.34.3二阶系统的阶跃响应1.典型二阶系统的暂态特性假设初始条件为零，当输入量为单位阶跃函数时，输出量的拉氏变换为)2()(222nnncssssX222()2nBnnWsss4.3二阶系统的阶跃响应系统的特征方程为0222nnss211nnp221nnp系统的特征根为(1)过阻尼14.3二阶系统的阶跃响应输出量的拉氏变换：22110212222))(()2()(psApsAsApspssssssXnnnnc1])([00scssXA)1(121)])(([22111pscpssXA)1(121)])(([22222pscpssXA4.3二阶系统的阶跃响应输出量的时间函数：0111211)]([)(2)1(2)1(222110122teepsApsAsAsXLtxttccnn，结论：后一项的衰减指数远比前一项大得多。这时，二阶系统的暂态响应就类似于一阶系统的响应。4.3二阶系统的阶跃响应20020122()()()ncnnnAAAXssssss1))(())((1)(2220220100nnnsnsncnsncscsssXdsdAssXAssXAnp2,1系统的特征根为输出量的拉氏变换：（2）临界阻尼14.3二阶系统的阶跃响应输出量的时间函数：()1(1),0ntcnxtett4.3二阶系统的阶跃响应（3）欠阻尼（）01211nnpj221nnpj系统的特征根为4.3二阶系统的阶跃响应输出量的拉氏变换：2222222221()21()(1)()(1)ncnnnnnnnnsXssssssss式中：阻尼振荡角频率，或振荡角频率阻尼角4.3二阶系统的阶跃响应输出量的时间函数：12222()()1cos1sin1111sin,01nncctnntdxtLXsettett21dn21arctan4.3二阶系统的阶跃响应结论：在的情况下，二阶系统的暂态响应的暂态分量为一按指数衰减的简谐振动时间函数；振荡程度与有关：越小，振荡越剧烈。014.3二阶系统的阶跃响应（4）无阻尼（=0）系统的特征根为输出量的拉氏变换为二阶系统的暂态响应为12,nnpjpj222()()ncnXsss()1coscnxtt4.3二阶系统的阶跃响应综上所述，在不同的阻尼比时，二阶系统的暂态响应有很大的区别，因此阻尼比是二阶系统的重要参量。当=0时，系统不能正常工作，而在=1时，系统暂态响应进行的又太慢。所以，对二阶系统来说，欠阻尼情况（）是最有实际意义的。104.3二阶系统的阶跃响应2.二阶系统暂态特性指标当时，典型二阶系统的输出响应为()1()rxtt21()1sin,(01)1ntcdxtet快速性指标：上升时间tr，调节时间ts平稳性指标：最大超调量%，振荡次数4.3二阶系统的阶跃响应2.二阶系统暂态特性指标（1）上升时间tr：系统的输出第一次达到稳态值的时间。0sin12rdttern令t=tr时，xc（t）=1得4.3二阶系统的阶跃响应21ndrt结论：当n一定时，阻尼比越大，则上升时间tr越长；当一定时，n越大，则tr越短。4.3二阶系统的阶跃响应（2）最大超调量%输出最大值相对于输出稳态值的误差。用公式表示为max()%100%ccxxx最大超调量发生在第一个周期中t=tm时刻。令得0mttcdttdx21cossinmdmdtt21tanmdt4.3二阶系统的阶跃响应因此即因为在n=1时出现最大超调量，所以有。峰值时间为nntmd21arctanntmdndmt21ndmt214.3二阶系统的阶跃响应将代入得最大值为因为所以nmt2121max21sin1ex21sinsin21max1xe4.3二阶系统的阶跃响应根据超调量的定义在单位阶跃输入下，稳态值，因此得最大超调量为max()%100%ccxxx()1cx%100%21e结论：二阶系统的最大超调量与值有密切的关系，阻尼比越小，超调量越大。4.3二阶系统的阶跃响应（3）调节时间ts与稳态值之间的偏差达到允许范围（一般取5%～2%）而不再超出的暂态过程时间。在暂态过程中的偏差为tetxxxntccn221sin14.3二阶系统的阶跃响应当或0.02时，得)02.0(05.01sin122或snttesn05.0x忽略正弦函数的影响，认为指数项衰减到0.05或0.02时，过渡过程即进行完毕。这样得到)02.0(05.012或snte4.3二阶系统的阶跃响应由此求得调节时间为35%,00.9snt42%,00.9snt结论：调节时间ts近似与成反比关系。n4.3二阶系统的阶跃响应（4）振荡次数在调节时间ts内，波动的次数。fstt式中：为阻尼振荡的周期时间。2122ndft4.3二阶系统的阶跃响应3.二阶系统特征参数与暂态性能指标之间的关系1%,2,3,42%,55%,mrsstttt4.3二阶系统的阶跃响应结论：（1）阻尼比是二阶系统的一个重要参量，由值的大小可以间接判断一个二阶系统的暂态品质。在过阻尼（）情况下，暂态特性为单调变化曲线，没有超调和振荡，但调节时间较长，系统反应迟缓。当，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。（2）一般情况下，系统在欠阻尼（）情况下工作。但是过小，则超调量大，振荡次数多，调节时间长，暂态特性品质差。应注意到，最大超调量只和阻尼比这一特征参数有关。因此，通常可以根据允许的超调量来选择阻尼比。1010（3）调节时间与系统阻尼比和自然振荡角频率这两个特征参数的乘积成反比。在阻尼比一定时，可以通过改变自然振荡角频率来改变暂态响应的持续时间。越大，系统的调节时间越短。（4）为了限制超调量，并使调节时间较短，阻尼比一般应在0.4～0.8之间，这时阶跃响应的超调量将在1.5%～25%之间。4.3二阶系统的阶跃响应nn4.3二阶系统的阶跃响应4.二阶工程最佳参数707.021121TsTssWK122122TssTsWB21%4.3%100%eTtnr7.4122%8.4385%4.146sstTTtTT用近似公式求得为用近似公式求得为1122nnT令4.3二阶系统的阶跃响应例3-2有一位置随动系统，其结构图如下图所示，其中Kk=4。求该系统的：1）自然振荡角频率；2）系统的阻尼比；3）超调量和调节时间；4）如果要求，应怎样改变系统参数Kk值。0.7074.3二阶系统的阶跃响应解系统的闭环传递函数为写成标准形式由此得（1）自然振荡角频率2,4kBkkKWsKssK2222)(nnnBsssW2knK4.3二阶系统的阶跃响应（2）阻尼比25.021n%47%100%21e