一元函数积分学(定积分概念性质)

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组3.2定积分高等数学A3.2.1曲边梯形的面积•变速直线运动的路程3.2.2定积分的概念3.2.3定积分的简单性质•中值定理第3章一元函数积分学3.2定积分定积分的概念与性质3.2.1曲边梯形的面积•变速直线运动的路程3.2.2定积分的概念3.2.3定积分的简单性质•中值定理定积分的概念习例1-3定积分的性质习例4-8定积分的几何意义本节内容小结abxyo?A曲边梯形由连续曲线实例1（求曲边梯形的面积）)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.)(xfy思考方法:利用“矩形面积=底高”.一、曲边梯形的面积•变速直线运动的路程abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系．播放曲边梯形如图所示，,],[)1(1210bxxxxxabann内插入若干个分点，在区间abxyoiix1x1ix1nx;],[],[11iiiiixxxxxnba长度为，个小区间分成把区间，上任取一点在每个小区间iiixx],[)2(1iiiAxf)(为高的小矩形面积为为底，以)(],[1iiifxxiniiniixfAA)(11曲边梯形面积的近似值为iniixfA)(lim10时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细)0(},,max{,)3(21nxxx曲边梯形面积为全过程为：分割、近似求和、取极限.实例2（求变速直线运动的路程）.,0)(,],[)(,21的路程体在这段时间内所经过求物且的一个连续函数上间隔是时间已知速度设某物体作直线运动tvtTTtvv思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割212101TtttttTnn1iiitttiiitvs)(部分路程值某时刻的速度（2）求和iinitvs)(1（3）取极限},,,max{21ntttiniitvs)(lim10路程的精确值注意:上述两例的共同点(1)所求量与一个函数及区间有关.],[)(baxfA与面积],[)(21TTtvS与路程(2)变与不变的矛盾.(3)处理方法一样:分割、近似求和、取极限.(4)结果一样:都是同一形式的和式的极限.设函数)(xf在],[ba上有界，(3)记},,,max{21nxxx，如果不论对],[ba(1)在],[ba中任意插入若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),2,1(i，(2)在各小区间上任取一点i（iix），作乘积iixf)(),2,1(i并作和iinixfS)(1，1.定义二、定积分的概念、定积分的几何意义怎样的分法，baIdxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数)(xf在区间],[ba上的定积分，记为积分上限积分下限积分和注意：(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关，badxxf)(badttf)(baduuf)(而与积分变量的字母无关.如果存在,它就是一个确定的数值!(2)当函数)(xf在区间],[ba上的定积分存在时，称)(xf在区间],[ba上可积.,)()(,:)3(abbadxxfdxxfba时当规定.0)()(,aabadxxfdxxfba时当;,0)4(n时当.0时不一定有但n,)()5(badxxfA曲边梯形的面积.)(21TTdttvS路程(6)定义中区间的分法和i的取法是任意的..)(,在区间上不可积则存在积分和的极限不同或不的不同的取法所得到的与若对区间的不同的分法xfi如Dirichlet函数的讨论.若定积分存在,则可用特殊的区间分法和点的取法来计算定积分.(7)定积分的存在性有以下两个定理(不加证明)定理1.],[)(,],[)(上有界在则上可积在若baxfbaxf定理2:],[)(,],[)(上可积在则上满足下列条件之一在若baxfbaxf.],[)()3(;],[)()2(;],[)()1(上单调在断点上只有有限个第一类间在上连续在baxfbaxfbaxf(8)定积分是一个构造性的定义,可利用定义求一些简单函数的定积分;同时可利用定义求n项和的极限.ninbanabnabiafdxxf1])([lim)(ninnnifdxxf1101)(lim)(,0)(xfbaniiiAxfdxxf10)(lim)(曲边梯形的面积,0)(xfbaniiiniiiAxfxfdxxf1010)(lim)(lim)(曲边梯形的面积的负值a2A3A4A4321)(AAAAdxxfba1Ab2.定积分的几何意义几何意义：积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于xxbxaxxfx,)(例1.dxebax利用定义计算定积分例2求已知,641102dxx).41241141(lim222222nnnnn例3.0,2,1,1所围成的图形的面积利用定积分的定义计算yxxxy3.定积分的概念习例.dxebax利用定义计算定积分解);,,2,1(,)(,,],[)1(ninabiaxnabxnbaii分点为各小区间长度为等分分成将则即为区间的右端点取,)(,)2(nabiaxiiiiniiniixexfi11)(nabeninabia1)(ninabiaeenab1)(nababnabaeeeenab1)1(例11)1(lim)(lim10nababnabanniiieeeenabxfnabeenababan)1(limabee.abbaxeedxe求已知,641102dxx).41241141(lim222222nnnnn例2解ninninnnnn12222222241lim)41241141(limnninin1)(41lim12dxx10241.6.0,2,1,1所围成的图形的面积利用定积分的定义计算yxxxy例3解xyo12dxxS21)1(依题意nninin1]1)1[(lim1.25证badxxgxf)]()([iiinixgf)]()([lim10iinixf)(lim10iinixg)(lim10badxxf)(.)(badxxgbadxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(.(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质1三、定积分的简单性质•中值定理(定积分对积分区间具有可加性)babadxxfkdxxkf)()((k为常数).证badxxkf)(iinixkf)(lim10iinixfk)(lim10iinixfk)(lim10.)(badxxfk性质2badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.补充：不论的相对位置如何,上式总成立.cba,,例若,cbacadxxf)(cbbadxxfdxxf)()(badxxf)(cbcadxxfdxxf)()(.)()(bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）则假设bca性质3dxba1dxbaab.则0)(dxxfba.)(ba证,0)(xf,0)(if),,2,1(ni,0ix,0)(1iinixf},,,max{21nxxxbadxxf)(性质4性质5如果在区间],[ba上0)(xf，.0)(lim10iinixf性质5的推论1：证),()(xgxf,0)()(xfxg,0)]()([dxxfxgba,0)()(babadxxfdxxg于是dxxfba)(dxxgba)(.则dxxfba)(dxxgba)(.)(ba如果在区间],[ba上)()(xgxf，（1）dxxfba)(dxxfba)(.)(ba证,)()()(xfxfxf,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa即dxxfba)(dxxfba)(.说明：可积性是显然的.|)(xf|在区间],[ba上的性质5的推论2：（2）设M及m分别是函数证,)(Mxfm,)(bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba（此性质可用于估计积分值的大致范围）则)()()(abMdxxfabmba.)(xf在区间],[ba上的最大值及最小值，性质6如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，证Mdxxfabmba)(1)()()(abMdxxfabmba由闭区间上连续函数的介值定理知则在积分区间],[ba上至少存在一个点，使dxxfba)())((abf.)(ba性质7（定积分中值定理）积分中值公式在区间],[ba上至少存在一个点，使,)(1)(badxxfabfdxxfba)())((abf.)(ba在区间],[ba上至少存在一个点，即积分中值公式的几何解释：xyoab)(f使得以区间],[ba为以曲线)(xfy底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(f的一个矩形的面积。例4比较积分值dxex20和dxx20的大小.例5估计积分dxx03sin31的值.例6.lim222dxexnnxn计算例7.01lim10dxxxnn证明例8.:113dxx面积分的值不通过计算能否得出下定积分的性质习例解令,)(xexfx]0,2[x,0)(xf,0)(02dxxexdxex02,02dxx于是dxex20.20dxx例4比较积分值dxex20和dxx20的大小.解,sin31)(3xxf],,0[x,1sin03x,31sin31413x,31sin31410030dxdxxdx.3sin31403dxx例5估计积分dxx03sin31的值.例6.lim222dxexnnxn计算解)2(limlim22222nnedxexnnxn22lim2e.0例7.01lim10dxxxnn证明解,10nnxxxdxxdxxxnn101010,11n,011limnn且.01lim10dxxxnn由夹逼准则可知注意:1lim1lim10nnnndxxx)10(.0这样证明正确吗？例8.:113dxx面积分的值不通过