用导数求切线方程及应用

'00()()fxxxfx函数在处的导数就是:导数的几何意义：00'0(),())(),yfxPxfxkfxP曲线在点（处的切线PT的斜率。即在点处的切线方程为000()()yyfxxx知识回顾：四种常见的类型及解法．•类型一：已知切点，求曲线的切线方程•此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可．例1．已经曲线C：和点A(1,2)。求曲线C在点A处的切线方程？32yxx例2与直线的平行的抛物线的切线方程是240xy2yx类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为2yxb•例3求过曲线上的点的切线方程．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．32yxx(11)，例4.求过点且与曲线相切的直线方程．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．(20)，1yx33yxx(016)A，()yfx练习已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程．例2已知曲线y＝x2，求：(1)曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)曲线过点P(3,5)的切线方程.3.1.3研一研·问题探究、课堂更高效解(1)设切点为(x0，y0)，∵y′|0xx＝limΔx→0x0＋Δx2－x02Δx＝limΔx→0x02＋2x0·Δx＋Δx2－x02Δx＝2x0，∴y′|x＝1＝2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.本专题栏目开关填一填研一研练一练(2)点P(3,5)不在曲线y＝x2上，设切点为(x0，y0)3.1.3研一研·问题探究、课堂更高效由(1)知，y′|0xx＝2x0，∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，由P(3,5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)①再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x02②联立①，②得，x0＝1或x0＝5.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2，此时切线方程为y－1＝2(x－1)，本专题栏目开关填一填研一研练一练即2x－y－1＝0，3.1.3研一研·问题探究、课堂更高效当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，此时切线方程为y－25＝10(x－5)，即10x－y－25＝0.综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.小结求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标.本专题栏目开关填一填研一研练一练跟踪训练2已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程.3.1.3研一研·问题探究、课堂更高效解y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2x＋Δx2－7]－2x2－7Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5).本专题栏目开关填一填研一研练一练(2)由于点P(3,9)不在曲线上.3.1.3研一研·问题探究、课堂更高效设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0).将P(3,9)及y0＝2x02－7代入上式，得9－(2x02－7)＝4x0(3－x0).解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25).从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.本专题栏目开关填一填研一研练一练1.已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()A.4B.16C.8D.23.1.3练一练·当堂检测、目标达成落实处解析f′(2)＝limΔx→0f2＋Δx－f2Δx＝limΔx→022＋Δx2－8Δx＝limΔx→0(8＋2Δx)＝8，即k＝8.C本专题栏目开关填一填研一研练一练2.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A.a＝1，b＝1B.a＝－1，b＝1C.a＝1，b＝－1D.a＝－1，b＝－13.1.3练一练·当堂检测、目标达成落实处解析由题意，知k＝y′|x＝0＝limΔx→00＋Δx2＋a0＋Δx＋b－bΔx＝1，∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.A本专题栏目开关填一填研一研练一练3.已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________.3.1.3练一练·当堂检测、目标达成落实处解析设点P(x0,2x02＋4x0)，则f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→02Δx2＋4x0·Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4，令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30).答案(3,30)本专题栏目开关填一填研一研练一练