高等数学第一章函数与极限试题

高等数学第一章函数与极限试题一.选择题1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，NM表示“M的充分必要条件是N”，则必有（A）F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数.（C）F(x)是周期函数f(x)是周期函数.（D）F(x)是单调函数f(x)是单调函数2．设函数,11)(1xxexf则（A）x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.（B）x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C）x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.（D）x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.3．设f(x)=xx1，x≠0,1,则f[)(1xf]=()A）1－xB）x11C）X1D）x4．下列各式正确的是()A）lim0x)x1+1(x=1B）lim0x)x1+1(x=eC）limx)x11－(x=-eD）limx)x1+1(x=e5．已知9)(limxxaxax，则a()。A.1；B.；C.3ln；D.3ln2。6．极限：xxxx)11(lim()A.1；B.；C.2e；D.2e7．极限：xlim332xx=（）A.1；B.；C.0；D.2．8．极限：xxx11lim0=（）A.0；B.；C21；D.2．9.极限：)(lim2xxxx=（）A.0；B.；C.2；D.21．10．极限:xxxx2sinsintanlim30=（）A.0；B.；C.161；D.16．二.填空题11．极限12sinlim2xxxx=.12.lim0xxarctanx=_______________.13.若)(xfy在点0x连续，则)]()([limxfxfxx=_______________；14.xxxx5sinlim0___________；15.nnn)21(lim_________________；16.若函数23122xxxy，则它的间断点是___________________17.绝对值函数xxf)(.0,;0,0;0,xxxxxxxxxxf25lg12其定义域是,值域是18.符号函数xxfsgn)(.0,1;0,0;0,1xxx其定义域是，值域是三个点的集合19.无穷小量是20.函数)(xfy在点x0连续，要求函数yf(x)满足的三个条件是三.计算题21.求).111(lim0xexxx22.设f(e1x)=3x-2,求f(x)(其中x0);23.求lim2　x(3－x)25xx;24.求lim　x(11xx)x;25.求lim0　x)3(2tansin22xxxx26.已知9)(limxxaxax，求a的值；27.计算极限nnnn1)321(lim28.求它的定义域。29.判断下列函数是否为同一函数：⑴f(x)＝sin2x＋cos2xg(x)＝1⑵11)(2xxxf1)(xxg⑶21)(xxf1)(xxg⑷21xxf1)(xxg⑸y＝ax2s＝at230.已知函数f(x)＝x2-1，求f(x+1)、f(f(x))、f(f(3)+2)31.求746153lim22nnnnn32.求221limnnn33.求)1(limnnn34.求nnnnn3232lim35.判断下列函数在指定点的是否存在极限⑴2,2,1xxxxy2x⑵0,310,sinxxxxy0x36.31lim3xx37.93lim23xxx38.xxx11lim039.求当x→∞时，下列函数的极限112323xxxxy40.求当x→∞时，下列函数的极限11232xxxxy41.41.xxx3sinlim042.20cos1limxxx43.311limnnn44.nnn211lim45.xxkx)11(lim46.xxx11lim47.xxkx101lim48.研究函数在指定点的连续性0,10,sin)(xxxxxfx0＝049.指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。11)(xxf,x＝150.指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。0,00,1)(xxxxf，x＝０51.指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。0,10,)(2xxxxf，x＝０52.证明f(x)＝x2是连续函数53.xxx)1ln(lim054.xxxxln11lim2155.试证方程2x3－3x2＋2x－3＝0在区间[1,2]至少有一根56.xxxx2sinsintanlim3057.试证正弦函数y=sinx在(-∞,+∞)内连续。58.函数f(x)=x=00xxxx，；，在点x=0处是否连续？59.函数)(xf=0001sinxxxx，；，是否在点0x连续？60.求极限xaxx1lim0.答案：一.选择题1.A【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为xCdttfxF0)()(，且).()(xfxF当F(x)为偶函数时，有)()(xFxF，于是)()1()(xFxF，即)()(xfxf，也即)()(xfxf，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则xdttf0)(为偶函数，从而xCdttfxF0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取F(x)=221x,排除(D);故应选(A).【评注】函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过.请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系?2.D【分析】显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.且)(lim0xfx，所以x=0为第二类间断点；0)(lim1xfx，1)(lim1xfx，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).【评注】应特别注意：1lim1xxx，.1lim1xxx从而11limxxxe，.0lim11xxxe错误！3C4A5C6C7A8C∵x→∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”：原式=21111lim)11()11)(11(lim00xxxxxxx.（有理化法）9D10C解原式161821lim)2()cos1(tanlim32030xxxxxxxx.▌注等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上例中若对分子的每项作等价替换，则原式0)2(lim30xxxx.二.填空题11.212.113.014.515.2e16.2,1x17.),(),0[18.),(}1,0,1{19.在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量20.①函数yf(x)在点x0有定义；②x→x0时极限)(lim0xfxx存在；③极限值与函数值相等，即)()(lim00xfxfxx三.计算题21.【分析】型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.【详解】)1(1lim)111(lim200xxxxxexexxxex=2201limxexxxx=xexxx221lim0=.2322lim0xxe22.f(x)=3lnx+1x＞023.e324.e225.6126.3ln;27.328.解：由x＋2≥０解得x≥-2由x－１≠０解得x≠１由5－２x＞０解得x＜2.5函数的定义域为｛x｜2.5＞x≥-2且x≠1｝或表示为（2.5,1）∪（1,-2）29.⑴、⑸是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的字母可以不同。⑵⑶不是同一函数，因为它们的定义域不相同。⑷不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。30.解：f(x+1)＝(x+1)2-1＝x2+2x，f(f(x))＝f(x2-1)＝(x2-1)2-1＝x4-2x2f(f(3)+2)＝f(32-1+2)＝f(10)＝9931.解：222222n22746153lim746153lim746153limnnnnnnnnnnnnnnnn210060031lim71lim46lim1lim1lim53lim22nnnnnnnnnn32.解：212lim2)1(lim21lim2222nnnnnnnnnnn33.解：nnnnnnnnnn1)1)(1(lim)1(lim01lim1lim1lim111lim11limnnnnnnnnnnnnn34.解：110101lim)32(lim1lim)32(lim1)32(1)32(lim3232limnnnnnnnnnnnnnn35.解：⑴因为3lim,2lim22yyxx，yyxx22limlim所以函数在指定点的极限不存在。⑵因为0031lim,00sinlim00yyxx，yyxx00limlim所以函数在指定点的极限0lim0yx36.613313limlim1lim31lim3333xxxxxx37.6131lim333lim93lim3323xxxxxxxxx38.21111lim)11(lim)11()11)(11(lim11lim0000xxxxxxxxxxxxxx39.323323111112lim112limxxxxxxxxxx20010021lim1lim1lim1lim1lim2lim323xxxxxxxxxx40.323232111112lim112limxxxxxxxxxxx00010001lim1lim1lim1lim1lim1lim23232xxxxxxxxxxx41.3333sinlim3sinlim00xxxxxx42.2122sinlim21)2(42sin2limcos1lim2022020xxxxxxxxx43.=eennnnn1)11(lim)11(lim344.22211lim11limennnnnn45.kkkxxkkxxekxkx11111lim11lim46.11111lim11limexxxxxx47.kkkxxekx101lim处连续。在函