鸡兔同笼-牛吃草-

奥数趣谈成果展欢迎大家的到来！2011.12.06一、植树问题•植树问题就是根据给定的距离、间距、棵数中任意两个变量，求另一个量的实际问题。此外，上楼梯，锯木头，都是研究此类间距问题的，这些问题与社会生产联系比较紧密，解决此类题有着实际的现实意义。为了绿化环境，环保局决定在马路一边种上柳树，道路全长100米，每隔10米栽一棵树，那么可以栽多少棵？•解答分析以１０米为一段，１００米可以分成１０段。由于头尾都栽，所以栽的棵树比分成的段数多１。解１００÷１０＋１＝１１（棵）答：共栽１１棵树。１０米１００米为了绿化环境，环保局决定在马路一边种上柳树，道路全长100米，每隔10米栽一棵树，那么可以栽多少棵？把1根木头锯断，要2分钟。把这根木头锯成4段，要几分钟？分析这样想：把1根木头锯断，也就是锯1次要用2分钟。而把这根木头锯成4段，需要锯几次？由图形可以知，需锯3次，也就是要3个2分钟解：2×（4－1）=6（分）答：锯4段，需6分钟。一个圆形的花坛，周长是１８０米。每隔６米种芍药花，每相临两棵芍药花之间种两棵月季花。可以栽多少棵芍药花？多少棵月季花？分析1.花坛的一周以6米为一段，可以分成180÷6=30（段）。由于是圆形，首尾两棵重合，所以段数=棵树，也就是种30棵芍药花。2．每两棵芍药花之间种两棵月季花，也就是每段里有2棵月季花，30段就有30个两棵。解芍药花的棵树：180÷6=30（棵）月季花的棵树：2×30=60（棵）答：可以栽30棵芍药花、60棵月季花。公式直线植树公式：棵树=间距数+1间距数=棵数-1环形植树公式：棵数=间距锯木头：一根木头2锯可以分3段段数=锯数+1锯数=段数-1我国大数学家孙子在《孙子算经》中这样记载“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？•二、鸡兔同笼要解决这个问题，我们不妨用假设法1、假设35头全是鸡，每只鸡有2只脚，那么共有70只脚，还剩94-70=24只脚。每只鸡加2只脚就可以变成一个兔子，24只脚可以加成12只兔，由此可列式计算，鸡为35-12=23，兔为122、假设35头全是兔，每只兔有4只脚，那么共有140只脚，已知有94只，相错140-94=46.每个兔子比鸡多2只脚，多的脚就可以变成23只鸡，因此，鸡的数量为23，兔的数量为35-23=123、假设鸡兔经过特殊训练可以听从指挥，那么我们还可以用吹口哨的方法解决这个问题。每吹一次口哨，鸡兔都抬起一只脚，第一次吹抬起35只，第二次吹有抬起35只，那么此时鸡肯定是蹲下的，站立的就是兔子，这样剩余脚数=94-35×2=24，得出兔子数为24÷2=12，则鸡数为35-12=234、当然也可以运用一元一次或一元二次方程解决问题。在此以一元二次方程为例假设鸡有X只，兔子有Y只，有题意得：94=4Y+2X35=Y+X12=Y23=X当场大练兵圆珠笔2元一支，钢笔5元一支，共买17支花了55元，问各买圆珠笔和钢笔多少支？分析：1、假设买了17支圆珠笔花了17×2=34，剩余55-34=21每支圆珠笔与钢笔相差3元，那么买了钢笔数为：21÷3=7圆珠笔为:17-7=102、假设买了17支钢笔花了17×5=85，还差了85-55=30，钢笔比圆珠笔多了3元，则可买圆珠笔30÷3=10，钢笔为：17-10=7牛吃草问题※.核心公式：草场草量=（牛数－每天长出的草量）×天数这里我们把草场草量称为“原有量”把每天长出的草量称为“日产量”那么牛吃草问题的核心公式为：原有量=（牛数－日产量）×天数※.解题思路：A.对于简单的牛吃草问题，一般可以根据已知条件，分步骤解答。首先：求出日产量（每天长出的草量）然后：求出原有量（草场草量）最后：求出题目。B.对于较为复杂的牛吃草问题，我们将在下面例题中，具体分析。三、牛吃草问题牛吃草问题是大科学家牛顿提出的，它的趣味性不在于一堆草有几头牛吃，而是一片时刻都在生长变化的草地，有多少牛去吃的问题，这里既存在原有的草量，又有匀速生长的草量。解决这样的难题要考虑定量和变量问题。例一：向南山坡有一片草地，草的生长速度是匀速的，放5头牛10天可以吃完，7头牛则要5天就可吃完；那么若放8头牛来吃，可以吃几天？分析：我们假设每头牛每天吃的草量为1份，5头牛10天就吃50份，7头牛5天吃35份，那么50-35=15意味着什么意思呢？这正是10-5=5（天）长出来的草量，可以供一头牛吃15天，或15头牛吃1天。也就是每天长出15÷5=3（份），即每天长出的草可供3头牛吃。那么原有草量为多少呢？例一：向南山坡有一片草地，草的生长速度是匀速的，放5头牛10天可以吃完，7头牛则要5天就可吃完；那么若放8头牛来吃，可以吃几天？原有草量为5×10-3×10=20（份）每天长出的草供3头牛吃，因此8头牛中有3头专用来吃新长的草，其余5头吃原来的草，可得20÷（8-3）=4（天）例二：有三块草地，面积分别是5、6、8公顷，草地上原有的草一样多，生长速度一样，第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天，问第三块草地可供19头牛吃几天？