解含绝对值的方程

“解含绝对值的方程”例题解析绝对值概念在初中代数，乃至初等数学中，均占有相当重要的地位。解含绝对值的方程在初中数学竞赛中经常出现，同学们往往感到困惑，难于解答。下面举例说明解这类方程的几种常用方法。一.运用基本公式：若，则解方程例1.解方程解：去掉第一重绝对值符号，得移项，得或所以所以原方程的解为：例2.解方程解：因为所以即或解方程（1），得解方程（2），得又因为，所以所以原方程的解为二.运用绝对值的代数意义解方程例3.方程的解的个数是（）A.1B.2C.3D.4或4以上解：方程可化为所以所以方程的解有无数个，故选（D）。三.运用绝对值的非负性解方程例4.方程的图像是（）A.三条直线：B.两条直线：C.一点和一条直线：（0，0），D.两个点：（0，1），（-1，0）解：因为而所以所以原方程的图象为两个点（0，1），（-1，0）故选（D）。四.运用绝对值的几何意义解方程例5.解方程解：设，由绝对值的几何意义知所以又因为所以从数轴上看，点落在点与点的内部（包括点与点在内），即原方程的解为。五.运用方程的图象研究方程的解例6.若关于x的方程有三个整数解，则a的值是（）A.0B.1C.2D.3解：作的图象，如图1所示，由于方程解的个数就是直线与的图象的交点个数，把直线平行于x轴上、下移动，通过观察得仅当时方程有三个整数解。故选（B）。图1同时，我们还可以得到以下几个结论：（1）当时，方程没有解；（2）当或时，方程有两个解；（3）当时，方程有4个解。中考数学试题分类解析汇编专题1：实数一、选择题1.（2012广东省3分）﹣5的绝对值是【】A．5B．﹣5C．D．﹣【答案】A。【考点】绝对值。【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|=5。故选A。2.（2012广东省3分）地球半径约为6400000米，用科学记数法表示为【】A．0.64×107B．6.4×106C．64×105D．640×104【答案】B。【考点】科学记数法。【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。6400000一共7位，从而6400000=6.4×106。故选B。3.（2012广东佛山3分）的绝对值是【】A．2B．C．D．【答案】C。【考点】绝对值。【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点到原点的距离是，所以的绝对值是。故选C。4.（2012广东佛山3分）与2÷3÷4运算结果相同的是【】A．4÷2÷3B．2÷（3×4）C．2÷（4÷2）D．3÷2÷4【答案】B。【考点】有理数的乘除运算。【分析】根据连除的性质可得：2÷3÷4=2÷（3×4）。故选B。5.（2012广东广州3分）实数3的倒数是【】A．﹣B．C．﹣3D．3【答案】B。【考点】倒数。【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．所以3的倒数为1÷3=。故选B。6.（2012广东广州3分）已知，则a+b=【】A．﹣8B．﹣6C．6D．8【答案】B。【考点】非负数的性质，绝对值，算术平方，求代数式的值。【分析】∵，，∴a﹣1=0，7+b=0，解得a=1，b=﹣7。∴a+b=1+（﹣7）=﹣6。故选B。7.（2012广东梅州3分）=【】A．﹣2B．2C．1D．﹣1【答案】D。【考点】零指数幂。【分析】根据任何非0数的0次幂等于1解答即可：。故选D。8.（2012广东汕头4分）﹣5的绝对值是【】A．5B．﹣5C．D．﹣【答案】A。【考点】绝对值。【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|=5。故选A。9.（2012广东汕头4分）地球半径约为6400000米，用科学记数法表示为【】A．0.64×107B．6.4×106C．64×105D．640×104【答案】B。【考点】科学记数法。【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。6400000一共7位，从而6400000=6.4×106。故选B。10.（2012广东深圳3分）－3的倒数是【】A．3B．－3C.D。【答案】D。【考点】倒数。【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．所以－3的倒数为1÷（－3）=。故选D。11.（2012广东深圳3分）第八届中国（深圳）文博会以总成交额143300000000元再创新高．将数143300000000用科学记数法表示为【】A，B。C。D。【答案】B。【考点】科学记数法。【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。143300000000一共12位，从而143300000000=1.433×1011。故选B。12.（2012广东湛江4分）2的倒数是【】A．2B．﹣2C．D．﹣【答案】C。【考点】倒数。【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．所以2的倒数为1÷2=。故选C。13.（2012广东湛江4分）国家发改委已于2012年5月24日核准广东湛江钢铁基地项目，项目由宝钢湛江钢铁有限公司投资建设，预计投产后年产10200000吨钢铁，数据10200000用科学记数法表示为【】A．102×105B．10.2×106C．1.02×106D．1.02×107【答案】D。【考点】科学记数法。【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。10200000一共8位，从而10200000=1.02×107。故选D。14.（2012广东肇庆3分）计算的结果是【】A．1B．C．5D．【答案】B。【考点】有理数的加法。【分析】根据有理数的加法运算法则计算即可得解：－3+2=－（3－2）=－1。故选B。15.（2012广东肇庆3分）用科学记数法表示5700000，正确的是【】A．B．C．D．【答案】A。【考点】科学记数法。【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。5700000一共7位，从而5700000=5.7×106。故选A。16.（2012广东珠海3分）2的倒数是【】A．2B．﹣2C．D．﹣【答案】C。【考点】倒数。【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．所以2的倒数为1÷2=。故选C。二、填空题1.（2012广东省4分）若x，y为实数，且满足，则的值是▲．【答案】1。【考点】非负数的性质，算术平方根，绝对值。【分析】根据算术平方根和绝对值非负数的性质，要使，必须有且，即x=3，y=3。∴。2.（2012广东梅州3分）使式子有意义的最小整数m是▲．【答案】2。【考点】二次根式有意义的条件。【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。所以最小整数m是2。3.（2012广东梅州3分）梅州水资源丰富，水力资源的理论发电量为775000千瓦，这个数据用科学记数法可表示为▲千瓦．【答案】7.75×105。【考点】科学记数法。【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。775000一共6位，从而775000=7.75×105。4.（2012广东湛江4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是▲．【答案】。【考点】二次根式有意义的条件。【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。5.（2012广东肇庆3分）计算的结果是▲．【答案】2。【考点】二次根式的乘法。【分析】根据二次根式乘法进行计算：。8.（2012广东珠海4分）使有意义的x的取值范围是▲．【答案】。【考点】二次根式有意义的条件。【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。三、解答题1.（2012广东省6分）计算：．【答案】解：原式=。【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂。【分析】针对特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。2.（2012广东省7分）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5==；（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an==（n为正整数）；（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．【答案】解：（1）。（2）。（3）a1+a2+a3+a4+…+a100。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】（1）（2）观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1。（3）运用变化规律计算。3.（2012广东梅州7分）计算：．【答案】解：原式=。【考点】实数的运算，绝对值，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂。【分析】针对绝对值，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。4.（2012广东汕头7分）计算：．【答案】解：原式=。【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂。【分析】针对特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。8.（2012广东珠海6分）计算：．【答案】解：原式=2－1＋1－2=0。【考点】实数的运算，算术平方根，绝对值，零指数幂，负整数指数幂。【分析】针对算术平方根，绝对值，零指数幂，负整数指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。专题2：代数式和因式分解一、选择题1.（2012广东佛山3分）等于【】A．B．C．D．【答案】A。【考点】同底数幂的乘法。【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即：。故选A。2.（2012广东广州3分）下面的计算正确的是【】A．6a﹣5a=1B．a+2a2=3a3C．﹣（a﹣b）=﹣a+bD．2（a+b）=2a+b【答案】C。【考点】去括号与添括号，合并同类项。【分析】根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，进行计算，即可选出答案：A、6a﹣5a=a，故此选项错误；B、a与2a2不是同类项，不