分数阶总结

几种分数阶微积分定义的性质与联系前言：一：Riemann-Liouville分数阶微积分及其性质1.Riemann-Liouville积分定义与性质在引入分数阶微分定义之前，先介绍一下Riemann-Liouville积分定义，并且分数阶积分只有一个，即Riemann-Liouville积分定义。令为定义在区间(a,b)上的函数，对于任意的复数,分数阶Riemann-Liouville积分定义为11()()()()tataJfttfd()式子中：为伽马函数。该定义为左侧分数阶积分定义，相应的右侧分数阶积分定义为11()()()()btbtJfttfd()当的时候，即分数阶为整数时，上述定义可以退化到整数的情形，即1112()()ntnatnaaaJftddfd11()()(1)!tnatfdn()右侧积分有类似的结果，在此不再赘述。2.Riemann-Liouville微分定义同样Riemann-Liouville微分也有左侧微分和右侧微分。令为定义在区间(a,b)上的函数，则Riemann-Liouville左侧分数阶微分的定义为11()()()()ntnatnadDfttfdndt其中1,nnta。令为定义在区间(a,b)上的函数，则Riemann-Liouville右侧微分定义为11()()()()nbntbntdDfttfdndt其中1,nnta。3.Riemann-Liouville分数阶微积分的性质性质一：分数阶微积分的线性性质，即[()()]()()[()()]()()atatatatatatDftgtDftDgtJftgtJftJgt0,,为任意实数性质二：0(1)tctDc其中c为任意常数。性质三：左侧Riemann-Liouville积分算子是可以互换的，即()()atatatJJftJft，,0证明：根据定义并交换积分次序有111()()()()()()tatataaJJfttsfdsd111()()()()()ttasfstsdsd对内部积分做变量代换()/()tts111101()()()(1)()()tatataJJfttsfsdds1(,)()()()()taBtsfsds()atJft但是左侧Riemann-Liouville分数阶微分却没有这个性质，微分时不能交换微分次序，即()()atatatDDftDft，,0如果加上一些限制条件1()[0,],,(0,1)+1ftCT并且有0，则有()()atatatDDftDft并且以下式子是成立的()()mmatatatDDftDft，1,,nnmnZ性质四：次数为的左侧Riemann-Liouville分数阶微分算子是次数为的左侧Riemann-Liouville分数阶积分算子的逆算子，即有()()atatDJftft，0证明：由左侧Riemann-Liouville分数阶微分算子的定义，性质三，及微积分的基本定理有()()nnatatatatatDJftDJJft[()]nnatatatDJJft()()nnatatDJftft因此，我们也记左侧Riemann-Liouville分数阶积分算子()atJft为()atDft，即()()atatJftDft，为了方便和更加明了，以下我们会经常用()atDft算子代替()atJft。更一般的，对于连续的()ft，且导数-()atDft存在，则有()()atatatDDftDft，，但是，并没有()()atatDDftft，这种情况是对函数()ft先微分再积分，这样会涉及到初值，积分过后会多一个初值项，但是先积分再微分就不会有多余的项出现。性质五：如下的左侧Riemann-Liouville分数阶积分算子和左侧Riemann-Liouville分数阶微分算子的复合公式成立-1()()()-[()](1)jnjatatattajtaDDftftDftj，1nn性质六：假设(),()ftgt在区间[,]at中各阶导数存在且连续，则其乘积的阶微分有()0[()()]()()kkatatkDftgtftDgtk此性质可以退化到整数阶的情形，即()()0[()()]()()nknknkndftgtftgtkdt4.Riemann-Liouville微积分的Fourier变换令()ft的Fourier变换为()f。令()ft定义在区间(,)上，则Riemann-Liouville积分算子的Fourier变换为(())()()(())()()ttFDftifFDftif证明：令1,0()()0,0tthtt则()()()tDfthtft及()()()tDfthtft因此有(())(())(())()()tFDftFhtFftif及(())(())(())()()tFDftFhtFftif其中有101(())()itFhttedt做变换xit101()()()xxxedii101()()()xxedxiiw同理(())()()Fhtiw令()ft定义在区间(,)上，则Riemann-Liouville微分算子的Fourier变换为(())()()(())()()ttFDftifFDftif证明：由Fourier变换的性质()(())()(())nnFftiFft可得()(())(())nntttFDftFDDft()()(())nntiFDft()()()nnif()()if同理(())()()tFDftif5.Riemann-Liouville微积分的Laplace变换令()ft的Laplace变换为()f。令()ft定义在区间(,)上，则Riemann-Liouville积分算子的Laplace变换为0(())(),0tLDftsfs证明：110(())(())()(())()()()tttLDftLftLLftsfs其中1()()tLs其推导与上面1(())()()Fhtiw推导相似，在此不再赘述。令()ft定义在区间(,)上，则左侧Riemann-Liouville微分算子的Laplace变换为110000(())=()-[()],(1)njjtttjLDftsfsDftsnn证明：由Laplace的性质()1(2)(1)(())()(0)(0)(0)nnnnnLftsfssfsff得()000(())=(())nntttLDftLDDft()1()()(2)()(1)0000000(())[()][()][()]nnnnnnnntttttttsLDftsDftsDftDft11000=()-[()]njjttjsfsDfts二：Grünwald-Letnikov定义Grünwald-Letnikov分数阶导数是对导数的极限定义的推广。在整数阶情况下，0()()()limhftfthfth20()2()(2)()limhftfthfthfth对于一般的n可得()001()lim(1)()nninhinftftihih其中ni为二项式系数，(1)(1)!nnnniin推广以上定义，我们可以得到左侧Grünwald-Letnikov分数阶导数的定义[]001()lim(1)()tahiathiDftftihih其中[]为取整运算。可以看出，上式用的是向左差分，同理运用向右差分可以得到右侧Grünwald-Letnikov分数阶导数[]001()lim(1)()bthitbhiDftftihih三：Caputo分数阶导数1.Caputo分数阶导数的定义前面讲的Riemann-Liouville分数阶导数是先将函数积分，然后再进行求导。而Caputo分数阶导数的定义是先将函数求导，然后再进行积分。它们定义的区别在于积分与微分的顺序。令()ft定义在区间(,)ab上面，0，则左侧Caputo分数阶导数的定义为1()1()()(),(1,)()tnnataDfttfdnntan式中n为大于的最小整数，()()nf为函数()f的n阶导数。同Riemann-Liouville分数阶导数相比，Caputo定义是将()f先进行微分然后再进行积分。这样，事实上，Caputo定义对函数()f的要求要更高。2.Caputo分数阶导数的性质性质1：Caputo分数阶导数的线性性质，即[()()]()()atatatDftgtDftDgt0,,为任意实数性质2：00tDc其中c为任意常数。性质31()[0,],0,,,+1ftCTTR且，则00000()()(),[0,]tttttDDftDDftDfttT证明：3.Caputo分数阶导数的Fourier变换令()ft定义在(0,)上，则左侧Caputo分数阶导数的Laplace变换为0(())()(),(1)tFDftifnn证明：令1,0()()0,0ntthtt则()0()()()ntDfthtft故有()0(())(())(())ntFDftFhtFft()()()()()nniifif4.Caputo分数阶导数的Laplace变换令()ft定义在(0,)上，则左侧Caputo分数阶导数的Laplace变换为1()100(())()(0),(1)niitiLDftsfsfsnn证明：令1,0()()0,0ntthtt则()0()()()ntDfthtft故有()0(())(())(())ntLDftLhtLft1()101()11[()(0)]()(0)nnniniiniiissftfssfsfs四：三种分数阶导数定义的区别和联系1.几种定义的符号表示对于Riemann-Liouville分数阶积分，我们用符号()atJft表示，但通常为了方便处理，我们也用()atDft来表示，这样处理可以使推导更加明了。对于Riemann-Liouville分数阶导数，为了区分介绍的几种定义的符号，我们用符号()RLatDft来表示，如果令1nn，我们还可以把其写为()()()RLnnatatatDftDDft，即把对()ft的阶微分转化为先对()ft进行()n阶的积分，再进行n阶的微分。对于Grünwald