灰色理论

第九章灰色系统理论9.1灰色系统理论概述9.2灰色关联分析9.3灰色动态（CM）模型y9.1灰色系统理论概述•系统：客观世界在不断发展变化的同时,往往通过事物之间及因素之间相互制约,相互联系而构成一个整体,称之为系统•灰色系统:信息不完全或不确知的系统.“白”指信息完全;“黑”指信息一无所知,“灰”指信息不完全或不确知•常用的几种灰色模型类型(1)数据预处模型。包括各种数据变换，累加累减生成、效果测度计算等模型。其作用在于弱化数据列的随机性，使其初步显示出规律性，增强数据列间的可比性，为下一步建模创造良好的条件。（2）关联分析模型。（3）灰色动态（GM）模型。（4）灰色局势决策模型。（5）灰色规划模型。（6）灰色动态优化模型。（7）灰色控制模型。（8）灰色统计与灰色聚类模型。•灰色数据处理（1）原始数据特点(2)对数据处理的基本要求(3)常用灰色数据处理方法1）初值变换2）均值变换3）极差变换4）滑动平均变换5）模块变换6)效果测度变换9.2灰色关联分析9.2.1关联度的概念(0,1)对于两个系统或系统中两个因素之间随时间而变化的关联性大小的量度，称为关联度.关联度分为绝对关联度和速率关联度。1、绝对关联度00000minmin()()maxmax()()((),())()()maxmax()()iiikikiiiikxkxkxkxkxkxkxkxkxkxk(0,1)0011(,)((),())niikrXXxkxkn((1),(2),,());mmmmXxxxn));(,),2(),1((nxxxXiiii1111((1),(2),,());Xxxxn));(,),2(),1((0000nxxxX(1)关联系数设系统行为序列则称满足灰色关联四公理，其中为分辨系数。灰色关联度的计算步骤：1、求各序列的初值像（或均值像），令2、求差序列，记3、求两极最大差与最小差，记0(,)irXX(1)((1),(2),,())iiiiiiXXxxxxn0,1,2,,im0()()()((1),(2),,())iiiiiikxkxkn0,1,2,,im4、求关联系数5、计算关联度maxmax(),minmin()iikiikMkmk0(),(0,1)()1,2,,;1,2,,iimMkkMknim0011();1,2,niikrkimn2、应用研究☆一级男子百米运动员身体素质与运动成绩的灰色关联度分析选择100米作为研究项目,依据灰色关联度分析原理,揭示一级水平男子百米运动员的各项身体素质、各类型素质与运动成绩之间的关联度;针对训练实践中对身体素质认识上的模糊,提出相应的训练策略,旨在对提高运动成绩有所裨益。相关因素：行进间30米，230米，460米，5150米，立定跳远，立定三级跳，二级蛙跳，后抛铅球，仰卧起坐，坐蹲起，深蹲，前后劈叉，左右劈叉，站立体前屈，折回跑，象限跳，侧跨步。例1通过对末健将级女子铅球运动员的跟踪调查，获得2002年至2006年每年最好成绩及16项专项素质和身体素质的时间序列资料，见表1，试对此铅球运动员的专项成绩进行因素分析。对表1中的16个数列进行初始化处理。注意：对于前14个数列，随时间的增加，数值的增加意味着运动水平的进步，而对后2个数列来讲，随时间的增加，数值的减少却意味着运动水平的进步。因此，对这两个数据列进行初始化处理时，采用如下公式(1)(1)(1)(1)1,,,,15,16(2)(3)(4)(5)iiiiiiiiixxxxXixxxx指标20022003200420052006铅球专项成绩X013.6014.0114.5415.6415.694kg前抛X111.5013.0015.1515.3015.024kg后抛X213.7616.3616.9016.5617.304kg原地X312.4112.7013.9614.0413.46立定跳远X42.482.492.562.642.59高翻X5858590100105抓举X65565758080卧推X765707585903kg前抛X812.8015.3016.2416.4017.053kg后抛X915.3018.4018.7517.9519.303kg原地X1012.7114.5014.6615.8815.703kg滑步X1114.7815.5416.0316.8717.82立定三级跳远X127.647.567.767.547.70全蹲X13120125130140140挺举X14808590909530米起跑X15100米X1642425414063991311342128512721256依据问题要求，选取铅球运动员专项成绩作为参考数列，将表1中的各个数列的初始化数列代入公式，已算出各数列的关联度如表20(),(0,1)()1,2,,;1,2,,iimMkkMknim0011();1,2,niikrkimnr01r02r03r04r05r06r07r080.5880.6630.8540.7760.8550.5020.659.0582r9r10r11r12r13r14r15r160.6830.6950.8950.7050.9330.8470.7450.726表2由表2易看出，影响铅球专项成绩的前8项主要因素依次为全蹲、3kg滑步、高翻、4kg原地、挺举、立定跳远、30米起跳、100米成绩。因此在训练中应着重考虑安排这八项指标的练习。这样，可以减少训练的盲目性，提高训练效果。2、速率关联度绝对值关联度是反映事物之间关联的一种指标，它能指示具有一定样本长度的给定因素之间的关联情况。它由这样的缺点：绝对值关联度受数据中极大值和极小值的影响，一旦数据序列中出现某个极值，关联度就会发作生变化。因此，绝对值关联度有时不能真正反映数据列之间的关联程度。速率关联度反映的是两事物在发展过程中相对变化的关联程度。速率关联系数为：00001(),(1)()(1)()1()()1,2,,;1,2,,iiiikxkxkxkxkxktxktknim很明显，当等间隔采样时，△t=(t+1)-t=1速率关联度公式为：0011();1,2,1niikrkimn9.3灰色动态（GM）模型9.3.1五步建模思想第一步：开发思想，形成概念，通过定性分析、研究，明确研究的方向、目标、途径、措施，并将结果用准确简练的语言加以表达，这是语言模型。第二步：剖析语言模型中各个因素之间的相互关系，并以框图的形式表示出来。第三步：对各个环节的因果关系进行量化研究，得到量化模型。第四步：进一步收集各环节的输入、输出数据，利用所得得数据序列建立动态模型。这是系统分析、优化的基础。第五步：对动态模型进行系统分析和研究，通过结构、机理、参数的调整，进行系统重组，达到优化配置。语言模型网络模型量化模型动态模型优化模型9.3.2灰色预测（GM(n,h)模型)1、GM(1,1)模型YBBBaTT1)(ˆbkazkx)()()1()0(定义9.3.1称为灰色微分型方程.命题1方程为灰色微分方程,其中bkazkx)()()1()0()1(5.0)(5.0)()1()1()1(kxkxkz定义2称为GM(1,1)模型.符号GM(1,1)的含义如下:GM(1,1)↑↑↑↑GreyModel1阶方程1个变量bkazkx)()()1()0(定理1设X(0)为非负序列:其中x(0)(k)=0,k=1,2,…,n;X(1)为X(0)的累加生成序列:其中;在生成序列基础上，用线性动态模型对生成数据拟合逼近，其形式为：微分方程的解为()()mmdxaxbd))(,),2(),1(()0()0()0()0(nxxxX))(,),2(),1(()1()1()1()1(nxxxXnkixkxki,,2,1,)()(1)0()1(()(1)(1)[(1)/]/mmatxtxbaeba微分方程的系数用最小二乘求出，其向量形式为其中(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(2)0.5[(1)(2)]1(3)0.5[(2)(3)]1,()0.5[(1)()]1mmmxxxxxxYBxnxnxn1ˆ(,)()TTTaabBBBY定义3设X(0)为非负序列,X(1)为X(0)的1-AGO序列,Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列,,则称为灰色微分方程的白化方程,也叫影子方程.YBBBaTT1)(ˆbaxdtdx)1()1(bkazkx)()()1()0(定理2设B,Y,如定理1所述,则(1)白化方程的解也称时间响应函数为(2)GM(1,1)灰色微分方程的时间响应序列为(3)取x(1)(0)=x(0)(1),则aˆbaxdtdx)1()1(abeabxtxak))0(()()1()1(bkazkx)()()1()0(nkabeabxkxak,,2,1;))0(()1(ˆ)1()1(nkabeabxkxak,,2,1;))1(()1(ˆ)0()1((4)还原值nkkxkxkxakx,,2,1);(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1()1()1()1()0(定义4称GM(1,1)模型中的参数-a为发展系数,b为灰色作用量.-a反映了及的发展态势.一般情况下,系统作用量应是外生的或前定的,而GM(1,1)是单序列建模,只用到系统的行为序列(或称输出序列,背景值),而无外作用序列(或称输入序列,驱动量).GM(1,1)中的灰色作用量是从背景值挖掘出来的数据,它反映数据变化的关系,其确切内涵是灰的.灰色作用量是内涵外延化的具体体现,它的存在,是区别灰色建模与一般)1(ˆX)0(ˆX输入输出建模(黑箱建模)的分水岭,也是区分灰色系统观点与灰箱观点的重要标志.定理3GM(1,1)模型可以转化为其中bkazkx)()()1()0()1()()1()0(kxkxab5.01aa5.01定理4设,,且为GM(1,1)模型时间响应序列,其中则ab5.01aa5.01))(ˆ,),2(ˆ),1(ˆ(ˆ)1()1()1()1(nxxxXabeabxkxka)1()0()1())1(()(ˆ)2()0()0())1(()(kaexkx2GM(1,1)模型群定义5设序列将x(0)(n)取为时间轴的原点,则称tn为过去,t=n为现在,tn为未来.定义6设序列为其GM(1,1)时间响应式的累减还原值,则(1)当t=n时,称为模型模拟值;(2)当tn时,称为模型预测值.))(,),2(),1(()0()0()0()0(nxxxX))(,),2(),1(()0()0()0()0(nxxxXakaeabxekx))1()(1()1(ˆ)0()0()(ˆ)0(tx)(ˆ)0(tx建模的主要目的是预测,为提高预测精度,首先要保证有充分高的模拟精度,尤其是t=n时的模拟精度.因此建模数据一般应取为包括x(0)(n)在内的一个等时距序列.定义7设原始数据序列(1)用建立的GM(1,1)模型称为全数据GM(1,1)(2)用建立的GM(1,1)模型称为部分数据GM(1,1)))(,),2(),1(()0()0()0()0(nxxxX))(,),2(),1(()0()0()0()0(nxxxX))(,),1(),(()0(0)0(0)0()0(nxkxkxX(3)设x(0)(n+1)为最新信息,将x(0)(n+1)置入X(0),称用建立的模型为新信息GM(1,1)(4