画法几何垂直问题

1第3章直线与平面、平面与平面的相对位置3.1平行问题3.1平行问题3.2相交问题3.3垂直问题3.4综合问题分析23.1平行问题3.1.1直线与平面平行3.1.2平面与平面平行33.1.1直线与平面平行若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。PCDBA4例1试判断直线AB是否平行于平面CDE。fgfgbaabcededc结论：直线AB不平行于定平面XO5例2过点K作一水平线AB平行于已知平面ΔCDE。baaffbcededkkcXO63.1.2平面与平面平行若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直线，则这两个平面平行。PSEFDACB7fededfcaacbbmnmnrrss结论：两平面平行XO例3试判断两平面是否平行8例4已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。emnmnfefsrsrddcaacbbkkXO9例5试判断两平面是否平行结论：两平面平行efefsrsddcaacbbrPHSHXO103.2相交问题3.2.1积聚性法3.2.2辅助平面法11交点与交线的性质直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有线的投影。PABKDBCALKEF123.2.1积聚性法当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。VHPHPABCacbkNKM13直线可见性的判别bbaaccmmnkn特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接判别直线的可见性--观察法VHPHPABCacbkNKMk在平面之前14XOa’a(b)b’c’e’d’cefdf’kk’例6铅垂线AB与一般位置平面ΔCDE相交，求交点并判别可见性。15（2）两平面相交fk求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。VHMmnlPBCacbPHkfFKNLnlmmlnbaccabXOfk16平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLbbacnlmcmalnfkfkXO17平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLXObbacnlmcmalnfkfk18过AB作平面P垂直于H投影面3.2.2辅助平面法DEC12KBA192PH1作题步骤：1、过AB作铅垂平面P。2、求P平面与ΔCDE的交线ⅠⅡ。3、求交线ⅠⅡ与AB的交点K。XOabbacdeedc12kk20直线AB与平面ΔCDE相交，判别可见性。()abbaceedcd124（）kkXO3342121以正垂面为辅助平面求线面交点12QV21步骤：1、过EF作正垂平面Q。2、求Q平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3、求交线ⅠⅡ与EF的交点K。feefbaacbckk22利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。FBCALKED两一般位置平面相交求交线的方法231、用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点K、L。baccbaddeffePVQV21kkll2、连接两个共有点，画出交线KL。XO作题步骤1224利用重影点判别可见性baccballnmmnkeek34()3421()12XO两平面相交，判别可见性25例7试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交。acbacbfeefkkXO26分析FCABEKH过已知点K作平面P平行于ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。27作图步骤mnhhnmffacbacbeekkPV11221、过点K作平面KMN//ABC平面。2、过直线EF作正垂平面P。3、求平面P与平面KMN的交线ⅠⅡ。4、求交线ⅠⅡ与EF的交点H。5、连接KH，KH即为所求。283.3垂直问题3.3.1直线与平面垂直3.3.2平面与平面垂直293.3.1直线与平面垂直VADCBE几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。30定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。VADCBEaadcbdcbeeknknXO31定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。acacnnkfdbdbfkVADCBEXO32acacnnmfdbdbfm例8平面由BDF给定，试过定点M作平面的垂线。33hhhhhhkkSVkkPVkkQH例9试过定点K作特殊位置平面的法线。34efemnmncaadbcdbfXO例10平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于定平面。35例11试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60°，与H面的夹角为45°。nnXO36平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为补角ADCBE分析37直径任取NM|yM-yN||zM-zN|mhmnmk|zM-zN||yM-yN|30°45°mnmnkhnnXO作图过程383.3.2两平面垂直几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。PAB39反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。ABⅠⅡ两平面垂直两平面不垂直ⅡⅠAB40ghacachkkfdbdbfgXO例12平面由BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面41ghacckkbbgffdd结论：两平面不平行。XO例13试判断ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。423.4综合问题分析及解法3.4.1空间几何元素定位问题3.4.2空间几何元素度量问题43平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。求解综合问题主要包括：空间几何元素的定位问题（交点、交线）和空间几何元素的度量问题（如距离、角度）。综合问题解题的一般步骤：1.分析题意2.明确所求结果，找出解题方法3.拟定解题步骤44例14已知三条直线CD、EF和GH，求作一直线AB与CD平行，并且与EF、GH均相交。cghefdcefghdXO3.4.1空间几何元素定位问题45分析所求得直线AB一定在平行于CD的平面上，并且与交叉直线EF、GH相交。ABCDHGEF46作图过程kkcghefdcefghdXOPV1122aabb47例15试过定点A作直线与已知直线EF正交。aefafeXO48分析EFAK过已知点A作平面与已知直线EF交于点K，连接AK，AK即为所求。49作图过程21aefafe122PVaefafe1kk2150例16求点C到直线AB的距离。cabcabXO51分析PABCK过C点作直线AB的垂线CK一定在过C点并且与AB垂直的平面P内，过C点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与AB的交点K，最后求出垂线CK的实长即为所求。52作图过程cabcabXOeded1212kk所求距离53例17求交叉直线AB和CD的公垂线。ccababXOdd3.4.1空间几何元素度量问题54分析LKABDCGHEFP过一条直线CD作平面P平行于另一条直线AB，在过点A作平面P的垂线AH，求出垂足点E；在平面P上过点E作直线EF∥AB与直线CD交于点K；过点K作直线KL∥AH交AB于L点，KL即为所求的公垂线。55作图过程ccababXOddgg1122hh3434eefkklfl56本章小结1.平行问题（1）熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；（2）熟练掌握线、国平行，面、面平行的投影特性及作图方法。2.相交问题（1）熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。（2）熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。（3）掌握利用重影点判别投影可见性的方法。3.垂直问题掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。4.综合问题分析及解法（1）熟练掌握点、线、面的基本作图方法；（2）能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。