第4讲 与函数的零点相关的问题

二轮·数学第4讲与函数的零点相关的问题二轮·数学考向分析核心整合热点精讲阅卷评析二轮·数学考向分析考情纵览年份考点20112012201320142015ⅠⅡⅠⅡⅠⅡ函数零点及个数问题12确定函数零点所在的区间利用导数研究函数的零点(方程的根)1121(2)二轮·数学真题导航A1.(2015安徽卷,理2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()(A)y=cosx(B)y=sinx(C)y=lnx(D)y=x2+1解析:y=cosx是偶函数,且存在零点;y=sinx是奇函数;y=lnx既不是奇函数又不是偶函数;y=x2+1是偶函数,但不存在零点.故选A.二轮·数学2.(2015天津卷,理8)已知函数f(x)=22,2,2,2,xxxx函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是()(A)（74,+∞）(B)（-∞,74）(C)(0,74)(D)(74,2)D解析:函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,即方程f(x)-g(x)=0,即b=f(x)+f(2-x)有4个不同的实数根,即直线y=b与函数y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.又y=f(x)+f(2-x)=222,0,2,02,58,2,xxxxxxx作出该函数的图象如图所示,由图可得,当74b2时,直线y=b与函数y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点,故函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点时,b的取值范围是(74,2).二轮·数学3.(2014新课标全国卷Ⅰ,理11)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是()(A)(2,+∞)(B)(1,+∞)(C)(-∞,-2)(D)(-∞,-1)C解析:由题意得ax3-3x2+1=0存在唯一的正数解,a=3x-31x,设h(x)=3x-31x,x≠0,则h′(x)=-23x+43x=4311xxx,令h′(x)0得-1x0,0x1,令h′(x)0得x1或x-1,所以h(x)在(-∞,-1)上单调递减,(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且x→-∞时,h(x)→0;x→+∞时,h(x)→0,且h(1)=2,h(-1)=-2,如图,画直线y=a与h(x)只有一个交点,且x00,观察图象可得a-2.故选C.二轮·数学4.(2015湖南卷,理15)已知函数f(x)=32,,,.xxaxxa若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.解析:当a0时,若x∈(a,+∞),则f(x)=x2,当b∈(0,a2)时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x1=-b,x2=b.当0≤a≤1时,易知函数y=f(x)-b最多有一个零点.当a1时,f(x)的图象如图所示,当b∈(a2,a3]时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x3=3b,x4=b.综上,a∈(-∞,0)∪(1,+∞).答案:(-∞,0)∪(1,+∞)二轮·数学5.(2014江苏卷,13)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=|x2-2x+12|.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.解析:函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有互不相同的10个零点,即函数y=f(x),x∈[-3,4]与y=a的图象有10个不同交点.在坐标系中作出函数f(x)在一个周期内的大致图象如图,可知当0a12时满足题意.答案:(0,12)二轮·数学6.(2015广东卷,理19)设a1,函数f(x)=(1+x2)ex-a.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点;(1)解:函数f(x)的定义域为R.因为f′(x)=2x·ex+(1+x2)ex=(x2+2x+1)ex=(x+1)2ex≥0,所以函数f(x)在R上单调递增,即f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间.(2)证明:因为a1,所以f(0)=1-a0,f(lna)=(1+ln2a)elna-a=aln2a0,所以f(0)·f(lna)0,由零点存在性定理可知f(x)在(0,lna)内存在零点.又由(1)知f(x)在R上单调递增,故f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点.二轮·数学(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明:m≤32ea-1.(3)证明:设点P(x0,y0),由题意知,f′(x0)=(x0+1)20ex=0,解得x0=-1.所以y0=(1+20x)0ex-a=2e-a,所以点P的坐标为(-1,2e-a).所以kOP=a-2e.由题意可得f′(m)=(m+1)2em=a-2e.要证明m≤32ea-1,只需要证明m+1≤32ea,只需要证明(m+1)3≤a-2e=(m+1)2em,只需要证明m+1≤em.构造函数:h(x)=ex-x-1(x∈R),则h′(x)=ex-1.当x0时,h′(x)0,即h(x)在(-∞,0)上单调递减;当x0时,h′(x)0,即h(x)在(0,+∞)上单调递增;所以函数h(x)有最小值,为h(0)=0,则h(x)≥0.所以ex-x-1≥0,故em-m-1≥0,即m+1≤em,故原不等式成立.二轮·数学备考指要1.怎么考对函数零点的考查主要集中在以下两个方面:一是结合函数零点的存在性定理或函数图象,对函数是否存在零点或存在零点的个数进行判断,及判断函数零点所在的区间;二是利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或取值范围.多以选择、填空题的形式出现,有时呈现在函数与导数的解答题里面,难度中等偏上.2.怎么办复习备考时应理解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴有交点的等价性;掌握函数零点存在性定理;注重培养函数与方程思想、数形结合的思想及等价转化思想的应用意识.二轮·数学核心整合函数的零点函数零点的概念对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点方程的根与函数零点的关系⇔.⇔.函数零点的存在定理图象在[a,b]上连续不断,若f(a)f(b)0,则y=f(x)在(a,b)内存在零点函数存在零点的判断方法解方程f(x)=0利用零点存在性定理数形结合方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点二轮·数学温馨提示(1)函数零点不是一个“点”,而是函数图象与x轴交点的横坐标.(2)当函数y=f(x)在(a,b)内有零点时,不一定有f(a)·f(b)0,例如:f(x)=x2在区间(-1,1)内有零点,却有f(1)·f(-1)0.二轮·数学热点精讲热点一函数零点的个数问题【例1】(1)(2015合肥模拟)若偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=x2,则关于x的方程f(x)=(110)x在[0,103]上的根的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)4解析:(1)因为f(x)为偶函数,所以当x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],所以f(-x)=x2,即f(x)=x2.又f(x-1)=f(x+1),所以f(x+2)=f((x+1)+1)=f((x+1)-1)=f(x),故f(x)是以2为周期的周期函数,据此在同一坐标系中作出函数y=f(x)与y=(110)x在[0,103]上的图象如图所示,数形结合得两图象有3个交点,故方程f(x)=(110)x在[0,103]上有三个根.故选C.二轮·数学(2)(2015陕西渭南市一模)定义域为R的偶函数f(x)满足对任意x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时,f(x)=-2x2+12x-18,若函数y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上恰有三个零点,则a的取值范围是()(A)(022)(B)(0,33)(C)(0,55)(D)(55,33)解析：(2)因为f(x+2)=f(x)-f(1),所以f(1)=f(-1)-f(1),又因为f(x)是偶函数,所以f(1)=0.又函数f(x)是以2为周期的偶函数,函数y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上恰有三个零点可化为函数y=f(x)与y=loga(x+1)在(0,+∞)上有三个不同的交点.作函数y=f(x)与y=loga(x+1)的图象如下:结合函数图象知,log212,log412,aa解得,55a33.故选D.二轮·数学方法技巧(1)判断函数y=f(x)零点个数的常用方法:①直接法.令f(x)=0,则方程实根的个数就是函数零点的个数.②零点存在性定理法.判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)0,再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数.③数形结合法.转化为两个函数的图象的交点个数问题.(画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数)(2)由函数的零点或方程的根的存在情况求参数的取值范围常用的方法:①直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.②分离参数法:先将参数分离得a=f(x),再转化成求函数f(x)值域问题加以解决.③数形结合法:先对解析式变形,再在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.二轮·数学举一反三11:(1)(2015北京丰台二模)函数f(x)=12x-(12)x的零点个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3解析:(1)令f(x)=0,得12x=(12)x,在平面直角坐标系中分别画出函数y=12x与y=(12)x的图象,可得交点只有一个,所以f(x)的零点只有一个.故选B.答案:(1)B二轮·数学(2)(2015山东枣庄三模)函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是.解析：(2)当a=0时,函数f(x)=1在(-1,1)上没有零点,所以a≠0.根据零点存在性定理可得f(-1)f(1)0,即(-3a+1)·(1-a)0,所以(a-1)(3a-1)0,解得13a1,所以实数a的取值范围是(13,1).答案:(2)(13,1)二轮·数学热点二确定函数零点所在的区间【例2】(1)(2014北京卷)已知函数f(x)=6x-log2x.在下列区间中,包含f(x)的零点的区间是()(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,4)(D)(4,+∞)解析:(1)由函数f(x)在定义域内是减函数,又因为f(1)=6-log21=60,f(2)=3-log22=20,f(4)=32-log24=-120,所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4),故选C.二轮·数学(2)(2015湖南四月调研)已知函数f(x)=lnx-(12)x-2的零点为x0,则x0所在的区间是()(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,3)(D)(3,4)解析：(2)因为f(x)=lnx-(12)x-2在(0,+∞)是增函数,又f(1)=ln1-(12)-1=ln1-20,f(2)=ln2-(12)00,f(3)=ln3-(12)10,所以x0∈(2,3).故选C.二轮·数学方法技巧确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.提醒:在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点,在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性.二轮·数学举一反三21:(1)已知函数f(x)=lnx,则函数g(x)=f(x)-