第1章__函数、极限与连续

1章函数、极限与连续1.1函数的概念与简单性质1.2数列的极限1.3函数的极限1.4无穷小量和无穷大量1.5函数的连续性1.1函数的概念与简单性质1.1.1集合、常量与变量1.1.2函数的概念1.1.3函数的简单性质1.1.4反函数和复合函数1.1.5初等函数1.1.1集合、常量与变量(1)1.集合具有某种特定性质事物的总体叫做集合.组成这个集合的事物称为该集合的元素.一般用大写字母A、B、C、…表示集合，用小写字母a、b、c、…表示集合中的元素.有限集；无限集.;空集，空集用表示.常见的数集有：全体自然数的集合记作N、全体整数的集合记作Z、全体有理数的集合记作Q，全体实数的集合记作R.：，集合的运算主要有：集合的并：集合的交：集合运算满足交换律、结合律、分配律等一系列性质.ABAB{|}ABxxAxB或{|}ABxxAxB且1.1.1集合、常量与变量(2)2.区间与邻域区间:开区间(a,b);闭区间[a,b];半开区间[a,b);邻域:以点为中心的任何开区间称为点的邻域，记为3.常量与变量在任何一个生产过程或科学实验过程中，常常会遇到各种不同的量，其中有些量在过程中不起变化，也就是保持一定数值的量，这种量叫做常量；还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取不同数值的量，这种量叫做变量()Ua图1.11.1.2函数的概念定义设和是两个变量，是一个给定的数集.如果对于每一个，变量按照一定的法则(或关系)总有唯一确定的数值与它对应，则称是的函数，记为.称为自变量，称为因变量(或函数)，数集称为这个函数的定义域，而因变量的变化范围称为函数的值域.函数中表示对应关系的记号也可以用、等其他字母表示，此时函数记作、等.分段函数，即用几个式子分段来表示一个函数.F()yx()yFx1.1.3函数的简单性质（1）1.单调性单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.从图形上看，单调增加函数表现为曲线从左到右上升，单调减少函数表现为曲线从左到右下降.图1.5图1.6图1.7图1.81.1.3函数的简单性质（2）2.奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点是对称的，且对于任何x∈D，恒有f(-x)=f(x)成立，则称函数f(x)为偶函数；如果恒有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f(x)为奇函数.图1.91.1.3函数的简单性质（3）3.周期性通常我们所说的周期指的是最小正周期.4.有界性上界;下界1.1.4反函数和复合函数1.反函数2.复合函数将一个函数代入另一个函数而得到的函数称为上述两个函数的复合函数.1.1.5初等函数(1)1.幂函数2.指数函数3.对数函数:指数函数的反函数是对数函数，记为(a是常数且a0,a≠1).yxxyalogayx1.1.5初等函数(2)4.三角函数三角函数在数学和其他学科中有着广泛的应用.自然界中有很多现象都可用三角函数来描述，如简谐振动、交流电等.三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数，它们都是周期函数.5.反三角函数反三角函数是三角函数的反函数.三角函数的反函数依次为反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数.其图形分别如图1.20、图1.21、图1.22和图1.23所示.6.初等函数由上述五类基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和函数复合步骤构成的函数，称为初等函数.7.建立函数关系1.2数列的极限1.2.1数列极限的定义1.2.2收敛数列极限的性质1.2.3数列极限的存在准则1.2.4数列极限的四则运算法则1.2.1数列极限的定义设有数列，如果对于任意给定的正数(无论它多么小)，总存在一个正整数N，使得当时nN，不等式恒成立，则称常数a为数列的极限，或称数列收敛于a，记为或几何解释nxnxanxnxlimnnxa()nxan1.2.2收敛数列极限的性质定理1(收敛数列的有界性)如果数列收敛，则数列一定有界.定理2收敛数列的极限是唯一的.推论(1)如果数列无界，则它一定发散.推论(2)如果在两个不同的点附近都密集的分布着的无穷多个点，则该数列一定发散.nxnxnxnxnx1.2.3数列极限的存在准则定理3(单调有界准则)单调有界数列必有极限.定理4(夹逼准则)如果数列、和满足下列条件.(1)(2)则数列的极限存在，且nxnynznnnyxz≤≤(1,2,3,)nlimlimnnnnyaza，nxlimnnxa1.2.4数列极限的四则运算法则定理5(数列极限的四则运算法则)若，，则(1)(2)(3)limnnxalimnnyblim()limlimnnnnnnnxyxyablim()(lim)(lim)nnnnnnnxyxyablimlim(0)limnnnnnnnxxabyyb，1.3函数的极限1.3.1x→∞时函数的极限1.3.2x→x0时函数的极限1.3.3函数极限的运算法则定理2(函数极限的四则运算法则)定理3(复合函数的极限运算法则)1.3.4两个重要极限定理4(函数极限的夹逼准则)1.3.1x→∞时函数的极限定义1设函数f(x)当时有定义，如果对于任意给定的正数(无论它有多么小)，总存在一个正数X，使得对满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足，则常数A称为函数f(x)当时的极限，记作或xlim()xfxA()()fxAxxaxX()fxA1.3.2x→x0时函数的极限定义2设函数f(x)在点的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数(无论它多么小)，总存在正数，使得对于满足不等式的所有x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A称为函数f(x)当时的极限，记作或.0x00xx()fxA0xx0lim()xxfxA0()()fxAxx1.4无穷小量和无穷大量1.4.1无穷小量定义1定理1定理2定义2定理3定理41.4.2无穷大量定义3定理51.5函数的连续性1.5.1函数的连续性1.5.2函数的间断点1.5.3初等函数的连续性及连续函数的性质1.5.4闭区间上连续函数的性质1.5.1函数的连续性定义1设函数在点的某一邻域内有定义，如果，则称函数在点处连续.定义2设函数在点的某一邻域内有定义，如果，则称函数在点处连续.定义3若，则称函数在点处左连续；若，则称函数在点处右连续.()yfx0x0lim0xy()fx0x()yfx00lim()()xxfxfx()fx0x00lim()()xxfxfx()fx0x00lim()()xxfxfx()fx0x1.5.2函数的间断点设函数在点的某一去心邻域内有定义，如果函数f(x)在点不连续，则称是函数f(x)一个间断点.无穷间断点可去间断点第一类间断点第二类间断点()yfx0x0x0x1.5.3初等函数的连续性及连续函数的性质定理1设函数f(x)和g(x)在处连续，则、、在连续.定理2设函数在点连续，且，而函数在处连续，则复合函数在处也连续.定理3若函数y=f(x)在区间上连续且单调增加(减少)，则其反函数也在对应的区间上连续且单调增加(减少).0x0x()()fxgx()()fxgx0()(()0)()fxgxgx()x0x00()xu[()]yfx()fu0uu0xxxI()xy{(),}yxIyyfxxI1.5.4闭区间上连续函数的性质定理4(最大值最小值定理)若函数f(x)在闭区间上连续，则f(x)在上一定能取得最大值和最小值.即存在，使得定理5(有界性定理)闭区间上的连续函数在该区间上一定有界.定理6(介值定理)设函数f(x)在闭区间上连续，f(a)=A，f(b)=B且，则对介于A与B之间的任何一个数C，至少存在一点，使得[,]ab[,]ab12[,]ab，1()min()axbffx≤≤2()max()axbffx≤≤[,]abAB(,)ab()fC