阿氏圆最值问题

谌老师辅导资料阿氏圆最值问题阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PAkPB（0k且k不等于1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆例1、问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP＋12BP的最小值．尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有CDCP＝CPCB＝12，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴PDBP＝12，∴PD＝12BP，∴AP＋12BP＝AP＋PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP＋12BP的最小值为．自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，13AP＋BP的最小值为．拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90º，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是⌒CD上一点，求2PA＋PB的最小值．谌老师辅导资料例2、问题背景如图1，在△ABC中，BC＝4，AB＝2AC问题初探请写出任意一对满足条件的AB和AC的值：AB＝__________，AC＝___________．问题再探如图2，在AC右侧作∠CAD＝∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．问题解决求△ABC面积的最大值．向内构造类型1、如图，已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，C的半径为4，点D是C上的动点，连接AD，BD，则12ADBD的最小值为_________DCBACBA图2图1BDCA谌老师辅导资料2、如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，B的半径为2，P是B上一动点，则12PDPC的最小值为_________；2+4PDPC的最小值为_________．3、如图，已知菱形ABCD的边长为4，=60B，B的半径为2，P为B上一动点，则1+2PDPC的最小值为________4、如图，点C坐标为（2，5），点A的坐标为（7，0），C的半径为10，点B在C上一动点，5+5OBAB的最小值为___________PDCBAPDCBADCPBAyxCBAO谌老师辅导资料5、如图，AB为O的直径，AB＝2，点C与点D在AB的同侧，且AD⊥AB，BC⊥AB，AD＝1，BC＝3，点P是O上的一动点，则22PDPC的最小值为________6、在ABC中，=9860ABBCABC，，，A的半径为6，P是A上的动点，连接PBPC、，则32PCPB的最小值为___________7、如图，边长为4的正方形，内切圆记为O，P是O上一动点，则2+PAPB的最小值为_________CPDBOAPCBAOPDCBA谌老师辅导资料8、如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60o，A与BC相切于点E，点P是A上一动点，32PBPD的最小值为_________9、如图，在RtABC中，30A，8AC，以C为圆心，4为半径作⊙C．（1）试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由;（2）点F是⊙C上一动点，点D在AC上且2CD，试说明FCDACF;（3）点E是AB边上任意一点，在（2）的情况下，试求出12EFFA的最小值．EDCBAPFEADCB谌老师辅导资料10、如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A＋E′B的最小值．谌老师辅导资料11、如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM＋CM它的最小值．谌老师辅导资料向外构造类型1、如图，点A、B在O上，OA⊥OB，OA＝OB＝12，点C是OA的中点，点D在OB上，OD＝10．点P是O上一动点，则12PCPD的最小值为_________2、如图，在扇形CAB中，CA＝4，120CAB，D为CA的中点，P为BCˆ上一动点（不与C，B重合），则2PD＋PB的最小值为（）A．423B．47C．16D．4343、如图O的半径为2，AB为直径。过AO的中点C作CD⊥AB交O于点D，DE为O的直径，点P为O上动点，则2PC＋PE的最小值是__________．CPDBOA谌老师辅导资料4、如图，在△ABC中，∠ACB＝o90，AC＝BC＝4，C的半径为2，点D是C上的动点，点E在CB上，CE＝1，连接AD，DE，则122ADDE的最小值为_________5、如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，5为半径的圆与x轴、y轴分别交于点A和点B，点D为弧AB上的动点，则102BDOD的最小值为_________EDBCAyxDBCAO