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当前位置:首页 > 行业资料 > 能源与动力工程 > 第3章 非稳态热传导-1
第3章非稳态热传导在动力机械起动、停机及变动工况运行时,急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏,因此需要确定物体内部的瞬时温度场,为热机的利用提供一个有利的参考。钢制件在加热炉内加热时需要确定它在加热炉内停留的时间,以保证产品达到较高的质量。本章讨论非稳态导热问题:首先简述非稳态导热的基本概念,然后由简单到复杂依次介绍零维问题、一维问题、多维问题的导热微分方程的分析解法以及图算法。学习非稳态导热主要掌握基本概念、确定物体瞬时温度场的方法和在一段时间间隔内物体所传导热量的计算方法。§3.1非稳态导热问题的基本概念非稳态导热是指温度场随时间变化的导热过程。绝大多数的非稳态导热过程都是由于边界条件的变化所引起。根据温度场随时间的变化规律不同,非稳态导热分为周期性非稳态导热和非周期性非稳态导热。•周期性非稳态导热是在周期性变化边界条件下发生的导热过程。•非周期性非稳态导热通常是在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程。工程上,对于非稳态导热过程往往要求解决下列问题:(1)物体的某一部分从初始温度上升或下降到某一确定温度所需的时间,或经某一时间后物体各部分的温度是否上升或下降到某一指定值;(2)物体在非稳态导热过程中的温度分布,为求材料中的热应力和热变形提供必要的资料;(3)物体在非稳态导热过程中的温升速率;(4)某一时刻物体表面的热流量或从某一时刻起经一定时间后表面传递的总热量。求解非稳态导热过程中物体的温度场,通常可采用分析解法、数值解法、图解法和热电模拟法。§3.2零维问题的分析解法Bi01.当时,物体内部的导热热阻远小于其表面的对流传热热阻,该导热热阻可以忽略不计,此时,物体内部各点的温度在任一时刻都趋于均匀,物体的温度只是时间的函数,与坐标无关。这种忽略物体内部导热热阻的简化分析方法称为集总参数法。实际上,如果物体的热导率很大,几何尺寸很小,表面传热系数也不大时,物体内部的导热热阻一般都远小于其表面的对流传热热阻,都可以用集总参数法来分析。例如,小金属块在加热炉中的加热或在空气、水和油中的冷却过程,热电偶在测温时端部节点的升温或降温过程等。集总参数法实质上就是直接运用能量守恒定律导出物体在非稳态导热过程中温度随时间的变化规律,说明如下:图3-1集总参数法分析示意图一个任意形状的物体,如图3-1所示,体积为V,表面面积为A,密度、比热容c及热导率为常数,无内热源,初始温度为t0。突然将该物体放入温度恒定为t∞的流体之中,且t0t∞,物体表面和流体之间对流传热的表面传热系数h为常数,需要确定该物体在冷却过程中温度随时间的变化规律以及放出的热量。假设该问题满足的条件,根据能量守恒,单位时间物体热力学能的变化量应该等于物体表面与流体之间的对流传热量,即Bi01.tthAddtcV(3-1)引进过余温度,上式可改写为:tthAddcV(3-2)初始条件为:tt00,0通过分离变量,式(3-2)可改写为:dcVhAd将上式积分,00dhAdcV可得cVhAln0即cVhAexpecVhA0(3-3)式中21AVcAVhcVhA令,具有长度的量纲,称为物体的特征长度,于是VAlVVFoBilahllchlcVhA22将上式代入式(3-3),得:VVFoBiFoBiexpeVV0式中毕渥数BiV与傅里叶数FoV的下角标V表示以为特征长度。AVl对于厚度为2的无限大平壁,l=;对于半径为R的圆柱,Rl21(3-4)对于半径为R的圆球,Rl31。;对于形状如平板、柱体或球这样的物体,只要满足:MBiV1.0物体内各点过余温度之间的偏差就小于5%,就可以使用集总参数法计算。M是与物体形状有关的无量纲数:对于无限大平板,M=1;对于无限长圆柱,M=1/2;对于球,M=1/3。(3-5)式(3-3)指数部分中的具有时间的量纲,令,c称为时间常数,单位是s。当物体的冷却(或加热)时间等于时间常数,即=c时,由式(3-3)可得hAcVhAcVc%..e836368010即物体的过余温度达到初始过余温度的36.8%。这说明,时间常数反映物体对周围环境温度变化响应的快慢,时间常数越小,物体的温度变化越快,越迅速地接近周围流体的温度,如图3-2所示。由式可见,影响时间常数大小的主要因素是物体的热容量cV和物体表面的对流传热条件hA。hAcVc物体的热容量愈小,表面的对流传热愈强,物体的时间常数愈小。图3-2不同时间常数物体的温度变化利用热电偶测量流体温度,总是希望热电偶的时间常数越小越好,因为时间常数越小,热电偶越能迅速地反映被测流体的温度变化,所以,热电偶端部的节点总是做得很小,用其测量流体温度时,也总是设法强化热电偶端部的对流传热,如采用抽气式热电偶。如果几种不同形状的物体都是用同一种材料制作,并且和周围流体之间的表面传热系数h也都相同,都满足的条件,则由式可以看出,单位体积的表面面积A/V越大的物体,时间常数越小,在初始温度相同的情况下放在温度相同的流体中被冷却(或加热)的速度越快。Bi01.hAcVc例如:用同一种材料制成的体积相同的圆球、长度等于直径的圆柱与正方体,可以很容易算出,三者的表面面积之比为A圆球:A圆柱:A正方体=1:1.146:1.242可以根据式(3-3)或(3-4)计算0~时间内物体和周围环境之间交换的热量:00cVttcVQVVFoBiecVcV1100000cVQ令,表示物体温度从t0变化到周围流体温度t所放出或吸收的总热量,上式可改写成无量纲形式:VVFoBieQQ10(3-6)式(3-4)、(3-6)既适用于物体被加热的情况,也适用于物体被冷却的情况。例题3-1将一个初始温度为20℃、直径为100mm的钢球投入1000℃的加热炉中加热,表面传热系数为h=50W/(m2·K)。已知钢球的密度为=7790kg/m3,比热容为cp=470J/(kg·K),导热系数为43.2W/(m·K)。试求钢球中心温度达到800℃时所需要的时间。解:首先判断能否用集总参数法求解。毕渥数为31.0019.0K)W/(m3.433m05.0K)W/(m5032RhBiV可以用集总参数法求解。根据公式(3-4),VVFoBietttt00将已知条件代入上式,VFoe019.0C1000C20C1000C800可解得FoV=83.6,即6.8332Ra由此可得1968K)J/(kg470kg/m7790K)W/(m2.43m3m05.06.8336.8332232pcRs≈32.8min即钢球中心温度达到800℃需要32.8分钟。§3.3典型一维物体非稳态导热的分析解3.3.1无限大平壁冷却或加热问题的分析解图3-3第三类边界条件下无限大平壁的一维非稳态导热如图3-3所示,一厚度为2δ的无限大平壁,材料的热导率λ、热扩散率a为常数,无内热源,初始温度与两侧的流体相同,为t0。突然将两侧流体温度降低为t∞,并保持不变,假设平壁表面与流体间对流传热的表面传热系数h为常数。考虑到温度场的对称性,选取坐标系如图,x坐标原点位于平壁中心,因此仅需讨论半个平壁的导热问题。这是一个一维的非稳态导热问题,其导热微分方程式为:22xtat(3-7)初始条件:边界条件:0,0tt0,0xtxtthxtx,(对称性)引进过余温度,于是式(3-7)和单值性条件变为:tt22xa初始条件:tt00,0边界条件:(3-8)0,0xxhxx,再引进无量纲温度,无量纲坐标,可将上式及单值性条件无量纲化为:0xX222Xa即222Xa(3-9)初始条件:1,00边界条件:XX00,hXX,1通过量纲分析可以发现,参数组均为无量纲数,称为特征数,习惯上也称为准则数。ha、22aFo22aFoa令,Fo称为傅里叶数,从式可见,分子为从非稳态导热过程开始到时刻的时间,分母也具有时间的量纲,分母可理解为温度变化波及到δ2面积所需要的时间,所以Fo为两个时间之比,是非稳态导热过程的无量纲时间。hBi令,Bi称为毕渥数,从式可见,Bi为物体内部的导热热阻与边界处的对流传热热阻之比。hhBi11h由式(3-9)和单值性条件可知,是三个参数的函数,可表示为:Xha、、2fBiFoX,,或XFoBif,,0(3-10)采用分离变量方法可由式(3-8)及其单值性条件求得分析解:102coscossinsin2,nFonnnnnnexx12n、、、(3-11)可见,解的函数形式为无穷级数,式中是超越方程:Bitan(3-12)的根,有无穷多个,是毕渥数Bi的函数。3.3.2关于分析解的讨论(1)傅里叶数Fo对温度分布的影响无论Bi取任何值,超越方程式(3-12)的根都是正的递增数列,所以从函数形式可以看出,式(3-11)是一个快速收敛的无穷级数。计算结果表明,当傅里叶数Fo0.2时,取级数的第一项来近似整个级数产生的误差很小,对工程计算已足够精确。因此,当Fo0.2时,可取:n、、、21Foexx21111110coscossinsin2,(3-13)因为,所以将式(3-13)左、右两边取对数,可得2aFoxm111110coscossinsin2lnln上式可改为:ln,mCBix(3-14)式(3-14)说明,当,即时,平壁内所有各点过余温度的对数都随时间线性变化,并且变化曲线的斜率都相等,如图3-4所示,这一温度变化阶段称为非稳态导热的正规状况阶段,在此之前的非稳态导热阶段称为非正规状况阶段。Fo02.a22.0图3-4正规状况阶段示意图将式(3-14)两边对时间求导,可得2211am(3-15)m的物理意义是过余温度对时间的相对变化率,单位是s-1,称为冷却率(或加热率)。当Fo0.2,物体的非稳态导热进入正规状况阶段后,所有各点的冷却率或加热率m都相同,且不随时间而变化,m的数值取决于物体的物性参数、几何形状与尺寸大小以及表面传热系数,这是非稳态导热正规状况阶段的又一特点。如果用m表示平壁中心()的过余温度,则由式(3-13)可得0xXFoBifeFo,cossinsin22111110m(3-16)由式(3-13)、(3-16)之比可得xBifx,cos10m0m(3-17)从式(3-17)可见,当Fo0.2,非稳态导热进入正规状况阶段以后,虽然、m都随时间而变化,但它们的比值与时间无关,只取决于毕渥数Bi与几何位置x/,这是正规状况阶段的另一重要特点。(2)毕渥数Bi对温度分布的影响平壁非稳态导热第三类边界条件表达式为:xxhx上式可改写成Bihxxxx对照图3-5,从几何意义来说,上式表示在整个非稳态导热过程中平壁内过余温度分布曲线在边界处的切线都通过点,即,该点称为第三类边界条件的定向点,与平壁边界面的距离为如图3-5中点所示。0,h0,B
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