探索多边形的内角和与外角和-内容综

探索多边形的内角和与外角和一、内容综述：多边形（n边形）：由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形。凸多边形：如果沿着多边形任何一条边作直线，多边形均在直线的同侧。凹多边型：多边形存在若干这样的边，如果沿着这条边作直线，多边形在直线的两侧。正多边形：多边形的各边都相等且各角都相等。对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。n边形的内角和=(n-2)·180°。任意多边形的外角和都为360°（外角和是指：每个顶点取且只取一个外角）。注意：(1)多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关；(2)凸多边形的内角α的范围：0°＜α＜180°。二、例题分析：例1、(1)22边形的内角和是多少度？若它的每一个内角都相等，那么它的每个外角度数是多少？(2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？(3)几边形的内角和是2160°？是否存在一个多边形内角和为1000°？(4)已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求边数．分析：以上基础知识的掌握是解决下列问题的关键，通常利用方程的思想解决。解：（1）（22-2）×180°=3600°3600°÷22=（）°180°-（）°=（）°（2）设n边形的内角和是八边形内角和的2倍则（n-2）×180°=2×（8-2）×180°n=14（3）设n边形的内角和是2160°则（n-2）×180°=2160°n=14设n边形内角和为1000°，则（n-2）×180°=1000°因为n不是整数，不符合题意。所以假设不成立，故不存在一个多边形内角和为1000°(4)因为一个多边形内角和等于外角和的2倍，所以：设边数为n。根据题意得：（n-2）×180°=2×360°，n=6例2、(1)已知多边形的每个内角都是135°，求这个多边形的边数；(2)每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，求这个多边形的边数分析：利用每一个内角和它的外角互补的关系解：（1）因为多边形的每个内角都是135°，所以它的每一个外角都是45°，360°÷45°=8，这个多边形是8边形。（2）因为每个外角都相等，则每一个内角也都相等。设外角为x则内角为9x，因为每一个内角与它的外角互为邻补角，所以：x+9x=180°x=18°因为多边形的外角和为360°，所以360°÷18°=20，此多边形为20边形。例3、(1)某多边形除一个内角α外，其余内角的和是2750°．求这个多边形的边数．(2)已知n边形恰有四个内角是钝角．这种多边形共有多少个？其中边数最少的是几边形？边数最多的是几边形？解：（1）因为凸多边形的每一个内角α的范围是：0°＜α＜180°，所以设这个多边形的边数为n，2750°+0°＜(n-2)×180°＜2750°+180°因为n为整数，所以n=18。（2）解：因为n边形恰有四个内角是钝角，所以n边形恰有四个外角是锐角，由于n边形个外角和是360°，所以外角中最多有3个钝角，①若n边形恰有四个外角是锐角和一个钝角，则是五边形；②若n边形恰有四个外角是锐角和两个钝角，则是六边形；③若n边形恰有四个外角是锐角和三个钝角，则是七边形；其中边数最少的是五边形；边数最多的是七边形例4、已知：四边形ABCD中(如图)，∠A与∠B互补，∠C=90°，DE⊥AB，E为垂足．若∠EDC=60°，求∠B、∠A及∠ADE的度数．解：因为，∠A+∠B=180°，所以AD∥BC所以∠C+∠ADC=180°，因为∠C=90°，所以∠ADC=90°又因为∠EDC=60°，所以∠ADE=30°因为DE⊥AB，所以∠AED=90°在△ADE中∠ADE=30°，∠AED=90°，所以∠A=60°因为，∠A+∠B=180°，所以∠B=120°例5、已知多边形内角和与某一个外角之和为1350°，求这多边形的边数．解：因为凸多边形的每一个外角α的范围也是：0°＜α＜180°所以设这个多边形的边数为n，1350°-180°＜(n-2)×180°＜1350°-0°因为n为整数，所以n=9。答：这多边形的边数为9。例6、如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多30°，求这个多边形的内角和及对角线的总条数．解：解：设外角为x则内角为（4x+30°）因为每一个内角与它的外角互为邻补角所以：x+(4x+30°)=180°x=30°因为多边形的外角和为360°，所以360°÷30°=12这个多边形的内角和为（12-2）×180°=1800°因为12边形从任意顶点出发均可以画出9条对角线所以对角线的总条数为：×9×12=54这个多边形的对角线的总条数为×12×（12-3）=54例7、如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°,∠E=80°,试求∠F的度数.解：连接AD，在四边形ABCD中，∠DAB+∠B+∠C+∠CDA=360°因为AB⊥BC，所以∠B=90°又因为∠C=124°，所以∠DAB+90°+124°+∠CDA=360°，∠DAB+∠CDA=146°因为CD∥AF，所以∠CDA=∠DAF（1）又因为∠CDE=∠BAF，所以∠BAD=∠EDA(2)由（1）,(2)得∠DAF+∠EDA=∠CDA+∠BAD=146°（3）在四边形ADEF中，∠DAF+∠EDA+∠F+∠E=360°（4）将(3)代入（4）得∠F+∠E=214°又因为∠E=80°，所以∠F=134°。例8、如图，凸六边形ABCDEF的六个角都是120°角，边长为：AB=2cm，BC=8cm，CD=11cm，DE=6cm.求这个六边形的周长是多少？分析：应当充分利用“凸六边形ABCDEF的六个角都是120°”，可以得到重要结论：每个外角都是60°，从而想到可以得到特殊三角形：等边三角形！解:延长AB,BA,CD,DC,EF,FE分别交于G,H,I三点。由凸六边形ABCDEF的六个角都是120°得△AGF,△IBC,△DEH,△IGH都是等边三角形所以BI=CI=BC=8cm，DH=EH=DE=6cm故GI=GH=IH(=IC+CD+DH)=25cmGF=AF=AG=IG-AB-BI=15cmEF=GH-GF-EH=4cm∴六边形ABCDEF的周长是2+8+11+6+4+15=46(cm)。例9．多边形内角中，为什么不能有超过3个的锐角？答：直接证明较困难，因而利用多边形外角和定理，采取反证法．证法提要：若有n(n≥4)个内角为锐角，则与其对应的外角就有n(n≥4)个钝角，它们的和大于360°，与外角和定理相矛盾．故得证．例10．为什么“四边形的周长大于两条对角线长度之和？”分析：先将问题转化为：“已知，求证”的形式。已知：四边形ABCD得对角线AC与BD相交于E，求证：AB+BC+CD+DAAC+BD。证明：在△ABD中:AB+ADBD……(1)在△ABC中:AB+BCAC……(2)在△BCD中:BC+CDBD……(3)在△ACD中:CD+ADAC……(4)(1)+(2)+(3)+(4)得AB+BC+CD+DAAC+BD。例11、用正多边形铺地面，哪些正多边形可以铺得平整且无空隙？为什么？答：只有正三角形、正方形、正六边形。由于要求铺得平整且无空隙，所以若干个正n边形的内角可以组成360°，即（k为正整数）能够满足上面方程的n只有3，4，6。