第四章+直梁的弯曲

上一内容下一内容回主目录返回第一篇力学基础第一章刚体受力分析第二章金属力学性能第三章受拉构件的强度计算与受剪切构建的实用计算第四章直梁的弯曲第五章圆轴的扭转上一内容下一内容回主目录返回1弯曲概念和梁的分类2梁的内力分析3纯弯曲时梁的正应力及正应力强度条件4直梁弯曲时的剪应力5梁的变形6本章小结第四章直梁的弯曲上一内容下一内容回主目录返回第一节弯曲概念与梁的分类一、弯曲变形的宏观表现与实例G/2G/2G/2G/2图4-1受力分析图4-1所受到的外力有如下特点：(1)外力均与梁的轴线垂直;(2)外力彼此相距较远.凡具备以上受力特点，并产生弯曲变形的杆统称为梁。上一内容下一内容回主目录返回三、梁的外力、梁的支座（1）集中力P作用面积很小时可视为集中力（N）（2）分布力q沿梁轴线分布较长（N/m）（3）集中力偶m力偶的两个力分布在很短的一段梁上（Nm）qq(x)均匀分布力P集中力TT集中力偶T分布力非均匀分布力第一节弯曲概念与梁的分类上一内容下一内容回主目录返回第一节弯曲概念与梁的分类梁的支座：a)活动铰链支座b)固定铰链支座c)固定端RyRxRAAAmyRxR上一内容下一内容回主目录返回第一节弯曲概念与梁的分类二.梁的几个主要类型和名称①简支梁③悬臂梁②外伸梁：一个固定铰链支座和一个活动铰链支座，有一端或两端伸出支座以外：一端固定，另一端自由。上一内容下一内容回主目录返回例1简支梁的受力分析0,0,0MYX利用静力学平衡方程：0X0RAx0Y0PRRByAy0MA02/lPlRBy2/PRBy2/PRAyAxRl2/lPABByRAyRxy第一节弯曲概念与梁的分类上一内容下一内容回主目录返回思考题：悬臂梁的受力分析0X0Rx0Y0lqRyqlRy0AM02lqlMA221qlMAMAqlABRyRxxy第一节弯曲概念与梁的分类上一内容下一内容回主目录返回1弯曲概念和梁的分类2梁的内力分析3纯弯曲时梁的正应力及正应力强度条件4直梁弯曲时的剪应力5梁的变形6本章小结第四章直梁的弯曲上一内容下一内容回主目录返回第二节梁的内力分析一、梁横截面内的内力1.从力的平衡看梁中的内力P1M1M1Q1QARPPaaABCDBRBR1x用截面法求1-1截面内力：以任一段如左段为对象，受力如图所示。由静力平衡方程知：0Y01QRAPRQA10M111PxxRMA剪力弯矩RA=RB=PAR11P上一内容下一内容回主目录返回求2-2截面内力：以右段为对象0Y02PQRA02ARPQ0M0)(222MxRaxPAaPM2弯曲变形时梁横截面上的内力包括剪力Q和弯矩M。剪力弯矩AC段和BD段截面内有剪力和弯矩，属于剪切弯曲。CD段截面内只有弯矩，没有剪力（=0），属于纯弯曲。P2M2QBRP1M1M1Q1QARPPaaABCDBRBR1xAR222x第二节梁的内力分析上一内容下一内容回主目录返回第二节梁的内力分析2.从弯曲变形看弯矩PPaaABCD1）纵向纤维变成了弧线，凹入边纵向纤维缩短了，突出边n1n2伸长了，O1O2长度不变。2）横向线a1b1、a2b2仍为直线，说明变形前的横截面变形后仍然保持为平面。加载后发生弯曲：上一内容下一内容回主目录返回第二节梁的内力分析3）a1b1与a2b2不再平行（互相倾斜），说明横截面a1b1与a2b2发生了相对转动。上一内容下一内容回主目录返回第二节梁的内力分析中性层：梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短的纵向纤维层称为中性层。xyz中性轴：中性层与横截面的交线中性轴中性层梁的弯曲，实际是上各个截面绕着中性轴的相对转动。上一内容下一内容回主目录返回zy第二节梁的内力分析将梁沿中性轴纵向切开(1)作用在中性轴上面的是压应力；(2)作用在中性轴下面的是拉应力。sdA根据弯矩的定义AMydA上一内容下一内容回主目录返回第二节梁的内力分析•剪力计算法则：梁任一横截面上的剪力等于该截面一侧（左侧或右侧都可）所有横向外力的代数和。•截面左侧向上的外力和截面右侧向下的外力取正值；截面左侧向下的外力和截面右侧向上的外力取负值。二、剪力和弯矩的计算Q=P0Q=P0Q=P0Q=P0PQPQQQPP上一内容下一内容回主目录返回第二节梁的内力分析•弯矩计算法则：梁在外力作用下，其任意截面上的弯矩等于该截面一侧所有外力对该截面中性轴取矩的代数和。•凡是向上的外力，其矩取正值；凡是向下的外力，其矩取负值；若梁上有集中力偶，截面左侧顺时针方向的力偶或截面右侧逆时针方向的力偶取正值，反之取负值。上一内容下一内容回主目录返回第二节梁的内力分析梁横截面上的剪力和弯矩是随截面的位置而变化的，其变化规律，可以用坐标x表示横截面沿梁轴线的位置，将梁各横截面上的剪力和弯矩表示为坐标x的函数，即：剪力图和弯矩图xMMxQQ剪力方程弯矩方程以平行于梁轴线的横坐标x，表示横截面的位置，以纵坐标表示各对应横截面上的剪力和弯矩，画出剪力和弯矩与x的函数曲线，称为剪力图和弯矩图。上一内容下一内容回主目录返回第二节梁的内力分析BAl/2lP2P3aP1b例4-1如图所示的简支梁，跨度l=1m，作用三个集中载荷，P1=500N，P2=1000N，P3=300N，a=0.25m,b=0.2m,试做出该梁的剪力图和弯矩图解以A为支点，据平面力系的平衡条件SM=0P1*a+P2*l/2+P3*(l-b)-Rb*l=0500*0.25+1000*0.5+300*0.8-Rb*1=0Rb=865N同理，根据Sy=0=Ra=935N上一内容下一内容回主目录返回第二节梁的内力分析CD段：NPRQA43512125435)(12xaxPxRMAaABCDblP1P3P2l/2EDE段：NPPRQA565213625565)2/()(213xlxPaxPxRMAEB段：NRQB8654865865)(4xxlRMBRARB上一内容下一内容回主目录返回第二节梁的内力分析NQ9351xM9351NQ43521254352xMNQ56536255653xMNQ86548658654xMQ(N)xM(Nm)x上一内容下一内容回主目录返回例2图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1）求支反力2qlRRBA2）列剪力方程和弯矩方程qxqlQ2222qxqlxxMxRBRABlAq第二节梁的内力分析上一内容下一内容回主目录返回qxqlQ2ql2Qxxql28M222qxqlxxM在均布载荷作用下，弯矩图为抛物线；q向下时抛物线开口向下；q向上时，抛物线开口向上。xBlAq第二节梁的内力分析上一内容下一内容回主目录返回1弯曲概念和梁的分类2梁的内力分析3纯弯曲时梁的正应力及正应力强度条件4直梁弯曲时的剪应力5梁的变形6本章小结第四章直梁的弯曲上一内容下一内容回主目录返回第三节纯弯曲梁的正应力一、纯弯曲时梁横截面上的正应力1.变形几何关系yz1m2a1a2m1o2o1n2n1b2b(1)横向线a1b1和a2b2仍然为直线，但相互倾斜，与弯后纵线m1m2和n1n2仍然正交；(2)纵线m1m2和n1n2变为弧线，凹入边m1m2缩短，凸出边n1n2伸长。纯弯曲试验现象：1m2a1a2m1o2o1n2n1b2bxoyyd上一内容下一内容回主目录返回距中性层距离为y处的纵向纤维变形前ddxOOnn2121ρ：中性层的曲率半径变形后21nn伸长量：yd线应变：dyddxd1dydxy1m2a1a2m1o2o1n2n1b2bxoyydy1m2a1a2m1o2o1n2n1b2bdxdy)(第三节纯弯曲梁的正应力上一内容下一内容回主目录返回第三节纯弯曲梁的正应力2.正应力分布规律根据虎克定律，当应力不超过比例极限时：yEE横截面上任意一点的正应力，与该点到中性轴的距离成正比。距中性轴越远，应力越大。距中性轴同一高度上各点的正应力相等。中性轴上y=0，σ=0。xyz中性轴正应力分布规律：)(maxmaxpyE上一内容下一内容回主目录返回第三节纯弯曲梁的正应力例4-3直径为1mm的钢丝缠绕在一圆柱体上，要保持收弯钢丝的弹性，试问圆柱体的直径不得小于多少？已知钢丝的比例极限时400MPa，弹性模量E=2×105MPa。解：根据maxmax1Eymax5min22100.5250410pEymm所以圆柱体的直径不得小于2r即500mm启发：对承载用的钢丝绳，在横截面积相等的条件下，钢丝细些，根数多些，钢丝绕性越好，便于捆绑物体上一内容下一内容回主目录返回第三节纯弯曲梁的正应力3.曲率与弯矩的关系弯矩M即截面上分布内力的合力偶矩，所以AAyMdyEEAAEMdy2AAyEd2令AzAyId2横截面对中性轴z的轴惯性矩Mxyz中性轴轴惯性矩Iz只与横截面的几何形状有关。zIEMzEIM1上一内容下一内容回主目录返回第三节纯弯曲梁的正应力zEIM1yEEzIMy4.正应力的计算公式弯曲正应力计算公式适用范围：zIMy弯曲正应力计算公式1）纯弯曲和l/h5剪切弯曲2）有纵向对称面的梁（未必为矩形）3）弹性变形阶段（）pmax上一内容下一内容回主目录返回第三节纯弯曲梁的正应力最大正应力、及位置：zIMyzIMymaxmax最大正应力发生在离中性轴最远处——上、下边缘令maxyIWzz横截面对中性轴z的抗弯截面模量zWMmax横截面上最大正应力计算式zybhmaxymaxy上一内容下一内容回主目录返回第三节纯弯曲梁的正应力5.截面的Iz与Wzbh/2h/2ydyyzo32222()12hhzAbhIydAybdy32max/1226zzIbhhbhWy上一内容下一内容回主目录返回第三节纯弯曲梁的正应力二、正应力的强度条件•一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；2.正应力强度条件bzWMmaxmax1.危险面与危险点许用弯曲应力脆性材料（如铸铁）抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑。梁横截面不对称于中性轴时（如T字型钢），上下表面抗弯截面模量不同。说明：上一内容下一内容回主目录返回第三节纯弯曲梁的正应力例题4-4：已知：l=3m，h=15cm，b=10cm，q=3000N/m，许用弯曲应力[σb]=10MPa。按正应力校核强度。qxlyz/2lmaxMANBN所以强度足够8/330008/22maxqlM解：最大弯矩Nm33756/15.01.06/22bhWz341075.3mMPaWMz91075.333754maxmaxMPa10][上一内容下一内容回主目录返回qxlyz/2lmaxMANBN上一内容下一内容回主目录返回第三节纯弯曲梁的正应力MmaxMx例4-5：已知许用弯曲应力[σb]=120MPa，l=1.6m，矩形截面a/b=2，其它如图所示。试确定三种梁截面的尺寸。ANBNl/2lyyzzP=1500Nzy4/MmaxPl解：梁的最大弯矩Nm60004/6.11500bzWMmaxmax][maxbzMW3650101206000cm梁为矩形平放时：503626322bbbabWza=10.6cmb=