“点差法”在解析几何题中的应用

1“点差法”在解析几何题中的应用在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为1122,,xyxy、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考.1求弦中点的轨迹方程例1已知椭圆2212xy，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.解设弦的两个端点分别为1122,,,PxyQxy，PQ的中点为,Mxy.则221112xy，（1）222212xy，（2）12得：2222121202xxyy，1212121202xxyyyyxx.又121212122,2,2yyxxxyyyxx，40xy.弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为40xy（在已知椭圆内）.例2直线:50laxya（a是参数）与抛物线2:1fyx的相交弦是AB，则弦AB的中点轨迹方程是.解设1122,,AxyBxy、，AB中点,Mxy，则122xxx.:150laxy，l过定点1,5N，51ABMNykkx.又2111yx，（1）2221yx，（2）12得：2212121212112yyxxxxxx，1212122AByykxxxx.于是5221yxx，即227yx.弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为227yx（在已知抛物线内）.22求曲线方程例3已知ABC的三个顶点都在抛物线232yx上，其中2,8A，且ABC的重心G是抛物线的焦点，求直线BC的方程.解由已知抛物线方程得8,0G.设BC的中点为00,Mxy，则AGM、、三点共线，且2AGGM，G分AM所成比为2，于是002281282012xy，解得00114xy，11,4M.设1122,,,BxyCxy，则128yy.又21132yx，（1）22232yx，（2）12得：22121232yyxx，121212323248BCyykxxyy.BC所在直线方程为4411yx，即4400xy.例4已知椭圆222210xyabab的一条准线方程是1x，有一条倾斜角为4的直线交椭圆于AB、两点，若AB的中点为11,24C，求椭圆方程.解设1122,,AxyBxy、，则121211,2xxyy，且2211221xyab，（1）2222221xyab，（2）12得：2222121222xxyyab，221212221212112bxxyybxxayya，21221221AByybkxxa，222ab，（3）又21ac，2ac，（4）而222abc，（5）3由（3），（4），（5）可得2211,24ab，所求椭圆方程为2211124xy.3求直线的斜率例5已知椭圆221259xy上不同的三点11229,,4,,,5AxyBCxy与焦点4,0F的距离成等差数列.（1）求证：128xx；（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k.（1）证略.（2）解128xx，设线段AC的中点为04,Dy.又AC、在椭圆上，22111259xy，（1）22221259xy，（2）12得：22221212259xxyy，1212121200998362525225xxyyxxyyyy.直线DT的斜率02536DTyk，直线DT的方程为0025436yyyx.令0y，得6425x，即64,025T，直线BT的斜率9055644425k.4确定参数的范围例6若抛物线2:Cyx上存在不同的两点关于直线:3lymx对称，求实数m的取值范围.解当0m时，显然满足.当0m时，设抛物线C上关于直线:3lymx对称的两点分别为1122,,PxyQxy、，且PQ的中点为00,Mxy，则211yx，（1）222yx，（2）12得：221212yyxx，1212120112PQyykxxyyy，4又1PQkm，02my.中点00,Mxy在直线:3lymx上，003ymx，于是052x.中点M在抛物线2yx区域内200yx，即2522m，解得1010m.综上可知，所求实数m的取值范围是10,10.5证明定值问题例7已知AB是椭圆222210xyabab不垂直于x轴的任意一条弦，P是AB的中点，O为椭圆的中心.求证：直线AB和直线OP的斜率之积是定值.证明设1122,,,AxyBxy且12xx，则2211221xyab，（1）2222221xyab，（2）12得：2222121222xxyyab，2121221212bxxyyxxayy，2121221212ABbxxyykxxayy.又1212OPyykxx，221ABOPbkka，22ABOPbkka（定值）.6处理存在性问题例8已知双曲线22112xy，过1,1B能否作直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，且B是线段PQ的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.解假设这样的直线存在，设,PQ的坐标分别为1122,,,xyxy，则122xx，122yy，又2211112xy，（1）2222112xy，（2）512得：12121212102xxxxyyyy，121220xxyyPQ的斜率12122yykxx又直线l过,,PQB三点，l的方程为121yx，即21yx.但若将21yx代入22112xy整理得方程22430xx，而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在.一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622yx内一点)1,2(M引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为),(11yxA、),(22yxB)1,2(M为AB的中点421xx221yy又A、B两点在椭圆上，则1642121yx，1642222yx两式相减得0)(4)(22212221yyxx于是0))((4))((21212121yyyyxxxx21244)(421212121yyxxxxyy即21ABk，故所求直线的方程为)2(211xy，即042yx。例2、已知双曲线1222yx，经过点)1,1(M能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B，且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线l，求出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点M平分的弦AB，且),(11yxA、),(22yxB6则221xx，221yy,122121yx，122222yx两式相减，得0))((21))((21212121yyyyxxxx22121xxyykAB故直线)1(21:xyAB由12)1(2122yxxy消去y，得03422xx08324)4(2这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l。评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M位置非常重要。（1）若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦一般存在；（2）若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆1257522xy的一条弦的斜率为3，它与直线21x的交点恰为这条弦的中点M，求点M的坐标。解：设弦端点),(11yxP、),(22yxQ，弦PQ的中点),(00yxM，则210x12021xxx，0212yyy又125752121xy，125752222xy两式相减得0))((75))((2521212121xxxxyyyy即0)(3)(221210xxyyy0212123yxxyy32121xxyyk3230y，即210y点M的坐标为)21,21(。7例4、已知椭圆1257522xy,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。解：设弦端点),(11yxP、),(22yxQ，弦PQ的中点),(yxM，则xxx221，yyy221又125752121xy，125752222xy两式相减得0))((75))((2521212121xxxxyyyy即0)(3)(2121xxxyyy，即yxxxyy3212132121xxyyk33yx，即0yx由12575022xyyx，得)235,235(P)235,235(Q点M在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为)235235(0xyx三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F的椭圆被直线23:xyl截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。解：设椭圆的方程为12222bxay，则5022ba┅┅①设弦端点),(11yxP、),(22yxQ，弦PQ的中点),(00yxM，则210x，212300xy12021xxx，12021yyy又1221221bxay，1222222bxay两式相减得0))(())((2121221212xxxxayyyyb8即0)()(212212xxayyb222121baxxyy322ba┅┅②联立①②解得752a，252b所求椭圆的方程是1257522xy四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆13422yx，试确定的m取值范围，使得对于直线mxy4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。解：设),(111yxP，),(222yxP为椭圆上关于直线mxy4的对称两点，),(yxP为弦21PP的中点，则12432121yx，12432222yx两式相减得，0)(4)(322212221yyxx即0))((4))((321212121yyyyxxxxxxx221，yyy221，412121xxyyxy3这就是弦21PP中点P轨迹方程。它与直线mxy4的交点必须在椭圆内联立mxyxy43，得mymx3则必须满足22433xy，即22433)3(mm，解得1313213132m五、注意的问题（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的