抛物线高考真题

2010~2014年高考真题备选题库1．（2014湖南，5分）如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(ab),原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p0)经过C，F两点，则ba＝________.解析：由正方形的定义可知BC＝CD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD|＝p＝a，Dp2，0，Fp2＋b，b，将点F的坐标代入抛物线的方程得b2＝2pp2＋b＝a2＋2ab，变形得ba2－2ba－1＝0，解得ba＝1＋2或ba＝1－2(舍去)，所以ba＝1＋2.答案：1＋22．（2014新课标全国Ⅰ，5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP＝4FQ，则|QF|＝()A.72B.52C．3D．2解析：过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为FP＝4FQ，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故选C.答案：C3．（2014新课标全国Ⅱ，5分）设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.334B.938C.6332D.94解析：易知抛物线中p＝32，焦点F34，0，直线AB的斜率k＝33，故直线AB的方程为y＝33x－34，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－212x＋916＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝212.由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝212＋32＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝p2·sin30°＝38，所以△OAB的面积S＝12|AB|·d＝94.答案：D4．（2014辽宁，5分）已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.12B.23C.34D.43解析：∵A(－2,3)在抛物线y2＝2px的准线上，∴－p2＝－2，∴p＝4，∴y2＝8x，设直线AB的方程为x＝k(y－3)－2①，将①与y2＝8x联立，即x＝ky－3－2，y2＝8x得y2－8ky＋24k＋16＝0②，则Δ＝(－8k)2－4(24k＋16)＝0，即2k2－3k－2＝0，解得k＝2或k＝－12(舍去)，将k＝2代入①②解得x＝8y＝8，即B(8，8)，又F(2,0)，∴kBF＝8－08－2＝43，故选D.答案：D5．（2014山东，14分）已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．(1)求C的方程；(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，①证明直线AE过定点，并求出定点坐标；②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解：由题意知Fp2，0.设D(t,0)(t0)，则FD的中点为p＋2t4，0.因为|FA|＝|FD|，由抛物线的定义知3＋p2＝t－p2，解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．由p＋2t4＝3，解得p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)①由(1)知F(1,0)，设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD,0)(xD0)，因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，由xD0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2,0)．故直线AB的斜率kAB＝－y02.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为y＝－y02x＋b，代入抛物线方程得y2＋8y0y－8by0＝0，由题意Δ＝64y20＋32by0＝0，得b＝－2y0.设E(xE，yE)，则yE＝－4y0，xE＝4y20.当y20≠4时，kAE＝yE－y0xE－x0＝－4y0＋y04y20－y204＝4y0y20－4，可得直线AE的方程为y－y0＝4y0y20－4(x－x0)，由y20＝4x0，整理可得y＝4y0y20－4(x－1)，直线AE恒过点F(1,0)．当y20＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1，0)，所以直线AE过定点F(1,0)．②由①知直线AE过焦点F(1,0)，所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋1x0＋1＝x0＋1x0＋2.设直线AE的方程为x＝my＋1，因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m＝x0－1y0.设B(x1，y1)．直线AB的方程为y－y0＝－y02(x－x0)，由于y0≠0，可得x＝－2y0y＋2＋x0，代入抛物线方程得y2＋8y0y－8－4x0＝0.所以y0＋y1＝－8y0，可求得y1＝－y0－8y0，x1＝4x0＋x0＋4.所以点B到直线AE的距离为d＝4x0＋x0＋4＋my0＋8y0－11＋m2＝4x0＋1x0＝4x0＋1x0.则△ABE的面积S＝12×4x0＋1x0x0＋1x0＋2≥16，当且仅当1x0＝x0，即x0＝1时等号成立．所以△ABE的面积的最小值为16.6．（2014陕西，13分）如图，曲线C由上半椭圆C1：y2a2＋x2b2＝1(ab0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为32.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点．设C1的半焦距为c，由ca＝32及a2－c2＝b2＝1得a＝2.∴a＝2，b＝1.(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为y24＋x2＝1(y≥0)．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入C1的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)设点P的坐标为(xP，yP)，∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．由根与系数的关系，得xP＝k2－4k2＋4，从而yP＝－8kk2＋4，∴点P的坐标为k2－4k2＋4，－8kk2＋4.同理，由y＝－，y＝－x2＋得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．∴AP＝2kk2＋4(k，－4)，AQ＝－k(1，k＋2)．∵AP⊥AQ，∴AP·AQ＝0，即－2k2k2＋4[k－4(k＋2)]＝0，∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－83.经检验，k＝－83符合题意，故直线l的方程为y＝－83(x－1)．7．（2013新课标全国Ⅱ，5分）设抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x解析：本题考查抛物线与圆的有关知识，意在考查考生综合运用知识的能力．由已知得抛物线的焦点Fp2，0，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则AF＝p2，－2，AM＝y202p，y0－2.由已知得，AF·AM＝0，即y20－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M8p，4.由|MF|＝5得，8p－p22＋16＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，故选C.答案：C8．（2013北京，5分）若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．解析：本题主要考查抛物线的方程及其简单的几何性质，意在考查考生的运算求解能力．因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，p＝2，准线方程为x＝－p2＝－1.答案：2x＝－19．（2013江西，5分）抛物线x2＝2py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线x23－y23＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.解析：本题考查抛物线、双曲线的标准方程及简单的几何性质，意在考查考生的数形结合思想以及转化与化归的能力．由x2＝2py(p0)得焦点F0，p2，准线l为y＝－p2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x23－y23＝1的交点A－12＋p22，－p2，B12＋p22，－p2，所以|AB|＝12＋p2，则|AF|＝|AB|＝12＋p2，所以p|AF|＝sinπ3，即p12＋p2＝32，解得p＝6.答案：610．（2013湖南，13分）过抛物线E：x2＝2py(p0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k10，k20，证明：FM·FN2p2；(2)若点M到直线l的距离的最小值为755，求抛物线E的方程．解：本小题主要考查抛物线的定义、标准方程及其几何意义，圆的方程及两圆的公共弦的求法，点到直线的距离公式，直线与圆锥曲线的位置关系，向量的数量积，基本不等式的应用，二次函数的最值的求法，考查运算求解能力和函数方程思想、转化化归思想和数形结合思想．属难题．(1)由题意，抛物线E的焦点为F0，p2，直线l1的方程为y＝k1x＋p2.由y＝k1x＋p2，x2＝2py，得x2－2pk1x－p2＝0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x1＋x2＝2pk1，y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋p＝2pk21＋p.所以点M的坐标为pk1，pk21＋p2，FM＝(pk1，pk21)．同理可得点N的坐标为pk2，pk22＋p2，FN＝(pk2，pk22)．于是FM·FN＝p2(k1k2＋k21k22)．由题设，k1＋k2＝2，k10，k20，k1≠k2，所以0k1k2k1＋k222＝1.故FM·FNp2(1＋12)＝2p2.(2)由抛物线的定义得|FA|＝y1＋p2，|FB|＝y2＋p2，所以|AB|＝y1＋y2＋p＝2pk21＋2p，从而圆M的半径r1＝pk21＋p.故圆M的方程为(x－pk1)2＋y－pk21－p22＝(pk21＋p)2，化简得x2＋y2－2pk1x－p(2k21＋1)y－34p2＝0.同理可得圆N的方程为x2＋y2－2pk2x－p(2k22＋1)y－34p2＝0.于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2－k1)x＋(k22－k21)y＝0.又k2－k1≠0，k1＋k2＝2，则l的方程为x＋2y＝0.因为p0，所以点M到直线l的距离d＝|2pk21＋pk1＋p|5＝p|2k21＋k1＋1|5＝p2k1＋142＋785.故当k1＝－14时，d取最小值7p85.由题设，7p85＝755，解得p＝8.故所求的抛物线E的方程为x2＝16y.11．（2012山东，5分）已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A．x2＝833yB．x2＝1633yC．x2＝8yD．x2＝16y解析：双曲线的渐近线方程为y＝±bax，由于ca＝a2＋b2a2＝1＋ba2＝2，所以ba＝3，所以双曲线的渐近线方程为y＝±3x.抛物线的焦点坐标为(0，p2)，所以p22＝2，所以p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y.答案：D12．（2011新课标全国，5分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()A．18B．24C．36D．48解析：设抛物线方程为y2＝2px，则焦点坐标为(p2，0)，将x＝p2代入y2＝2px可