第四章 时变电磁场2

第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版1本章内容4.1波动方程4.2电磁场的位函数4.3电磁能量守恒定律4.4惟一性定理4.5时谐电磁场第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版24.1波动方程在无源空间中，设媒质是线性、各向同性且无损耗的均匀媒质，则有无源区的波动方程波动方程——二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。麦克斯韦方程——一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场间的相互作用关系。麦克斯韦方程组波动方程。问题的提出2220HHt2220EEt电磁波动方程第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版32220HHt2220EEt22()HHHt2()EHt00ΕHtHΕtHΕ同理可得推证第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版44.2电磁场的位函数讨论内容位函数的性质位函数的定义位函数的规范条件位函数的微分方程第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版5引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。引入位函数的意义位函数的定义()0AΕt0BBABΕtAEt第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版6原因：未规定的散度。位函数的不确定性()()()AAAAAAtttt满足下列变换关系的两组位函数和能描述同一个电磁场问题。A（、）A（、）AAt即也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。不同位函数之间的上述变换称为规范变换。A为任意可微函数第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版7除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即在电磁理论中，通常采用洛仑兹条件，即位函数的规范条件0A0At造成位函数的不确定性的原因就是没有规定的散度。利用位函数的不确定性，可通过规定的散度使位函数满足的方程得以简化。AA第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版8DHJt()AAJtt222()AAJAttEBJt222AAJt位函数的微分方程BDEHABAEt2()AAA0At第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版9D()At222t同样ADEEt、0At第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版10电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应用不同的规范条件，矢量位A和标量位的解也不相同，但最终得到的电磁场矢量是相同的。222t说明222AAJt应用洛仑兹条件的特点：①位函数满足的方程在形式上是对称的，且比较简单，易求解；②解的物理意义非常清楚，明确地反映出电磁场具有有限的传递速度；③矢量位只决定于J，标量位只决定于ρ，这对求解方程特别有利。只需解出A，无需解出就可得到待求的电场和磁场。达朗贝尔方程第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版114.3电磁能量守恒定律讨论内容坡印廷定理电磁能量及守恒关系坡印廷矢量第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版12进入体积V的能量＝体积V内增加的能量＋体积V内损耗的能量电场能量密度：e12wED磁场能量密度：m12wHB电磁能量密度：em1122HB空间区域V中的电磁能量：11d()d22VVWwVEDHBV特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随时间改变，从而引起电磁能量流动。电磁能量守恒关系：电磁能量及守恒关系ddWtVS第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版13其中：——单位时间内体积V中所增加的电磁能量。——单位时间内电场对体积V中的电流所做的功；在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率。——通过曲面S进入体积V的电磁功率。表征电磁能量守恒关系的定理积分形式：d11()d()ddd22SVVVVtEHSEDHBEJdVVEJd11()dd22VVtEDHB()dSEHS11()()22tEHEDHBEJ坡印廷定理微分形式：第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版14在线性和各向同性的媒质中，当参数都不随时间变化时，则有将以上两式相减，得到由DHJtBΕtDΕHΕJΕtBHΕHtDBΕHHΕΕJΕHtt1()1()22DΕΕΕΕΕΕDtttt1()1()22BHHHHHHBtttt推证第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版15即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式：()ΕHHΕΕH11()()22ΕHΕDHBΕJt在任意闭曲面S所包围的体积V上，对上式两端积分，并应用散度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式d11()d()ddd22SVVVVtEHSEDHBEJ物理意义：单位时间内，通过曲面S进入体积V的电磁能量等于体积V中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版16定义：(W/m2)SΕH物理意义：的方向——电磁能量传输的方向S的大小——通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁功率S描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）HS能流密度矢量EO第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版17例4.3.1同轴线的内导体半径为a、外导体的内半径为b，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U，导体中流过的电流为I。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率；（2）当导体的电导率σ为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。同轴线第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版18解：（1）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量，只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内外导体之间的电场和磁场分别为,ln()UEeba()ab2πIHe2[]()ln()2π2πln()zUIUISEHeeebaba内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版19电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向负载，如图所示。2d2πd2πln()bzSaUIPSeSUIba穿过任意横截面的功率为同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（理想导体情况）第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版20（2）当导体的电导率σ为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电场内2πzJIEea根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即因此，在内导体表面外侧的电场为zzEE外内2ln()πzaUIEeeabaa外2πaIHea外磁场则仍为内导体表面外侧的坡印廷矢量为2232()2π2πln()zaaIUISEHeeaaba外外外同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版21式中是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。22122320()d2πd2ππSaIIPSSazRIaa外e21πRa由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量，如图所示。进入每单位长度内导体的功率为以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版224.4惟一性定理在以闭曲面S为边界的有界区域V内，如果给定t＝0时刻的电场强度和磁场强度的初始值，并且在t0时，给定边界面S上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在t0时，区域V内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。惟一性定理的表述在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦克斯韦方程的解的惟一问题。惟一性问题VS第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版23惟一性定理的证明利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域内的解不是惟一的，那么至少存在两组解、和、满足同样的麦克斯韦方程，且具有相同的初始条件和边界条件。1E2H2E1H000EHEt00HEt0()0H0()0E则在区域V内和的初始值为零；在边界面S上电场强度的切向分量为零或磁场强度的切向分量为零，且和满足麦克斯韦方程0E0H0E0H0E0H012EEE012HHH令第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版24根据坡印廷定理，应有222000d11()dd0d22VVHEVEVt所以由于场的初始值为零，将上式两边对t积分，可得222000011()d(d)d022tVVHEVEVt00nn000n0()()()0SSSEHeeEHHeE根据和的边界条件，上式左端的被积函数为0E0H22200n000d11()d()ddd22SVVEHeSHEVEVt第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版2500,E00H12,EE12HH上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有（证毕）即惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的应用。第4章时变电磁场电磁场与电磁波电子科技大学编写高等教育出版社&高等教育电子音像出版社出版264.5