高二数学教案：算术平均数与几何平均数(1)

学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网课题：算术平均数与几何平均数（1）教学目的：1奎屯王新敞新疆学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理奎屯王新敞新疆2奎屯王新敞新疆理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等奎屯王新敞新疆3．通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力奎屯王新敞新疆教学重点：均值定理证明教学难点：等号成立条件授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：ab，cd，是同向不等式奎屯王新敞新疆异向不等式：两个不等号方向相反的不等式奎屯王新敞新疆例如：ab，cd，是异向不等式奎屯王新敞新疆2．不等式的性质：定理1：如果ab，那么ba，如果ba，那么ab．(对称性)即：abba；baab定理2：如果ab，且bc，那么ac．(传递性)即ab，bcac定理3：如果ab，那么a+cb+c．即aba+cb+c推论：如果ab，且cd，那么a+cb+d．(相加法则)即ab，cda+cb+d．定理4：如果ab，且c0，那么acbc；如果ab，且c0，那么acbc．推论1如果ab0，且cd0，那么acbd．(相乘法则)推论2若0,(1)nnababnNn则且定理5若0,(1)nnababnNn则且二、讲解新课：1．重要不等式：如果)(2R,,22号时取当且仅当那么baabbaba证明：222)(2baabba当22,()0,,()0,abababab时当时所以，0)(2ba，即.2)(22abba由上面的结论，我们又可得到学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网．定理：如果a,b是正数，那么).(2号时取当且仅当baabba证明：∵,2)()(22abbaabba2，即abba2显然，当且仅当abbaba2,时说明：ⅰ）我们称baba,2为的算术平均数，称baab,为的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数奎屯王新敞新疆ⅱ）abbaabba2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数奎屯王新敞新疆ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件奎屯王新敞新疆3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”奎屯王新敞新疆以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b奎屯王新敞新疆过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么CBCACD2，即abCD这个圆的半径为2ba，显然，它不小于CD，即abba2，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立奎屯王新敞新疆三、讲解范例：例1已知x,y都是正数，求证：（1）如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值;2P（2）如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值.412S证明：因为x,y都是正数，所以xyyx2（1）积xy为定值P时，有Pyx2Pyx2上式当yx时，取“=”号，因此，当yx时，和yx有最小值P2奎屯王新敞新疆（2）和x+y为定值S时，有,2Sxy214xyS上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，积xy有最大值241S奎屯王新敞新疆说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：ⅰ）函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；ⅲ）等号成立条件必须存在奎屯王新敞新疆学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网已知：（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx），求证：2yxbabayx分析：本题结论中，注意yxbabayx与互为倒数，它们的积为1，可利用公式a＋b≥2ab，但要注意条件a、b为正数奎屯王新敞新疆故此题应从已知条件出发，经过变形，说明yxbabayx与为正数开始证题奎屯王新敞新疆证明：∵（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx）∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx∴ax－ay＋by－bx＞0∴（ax－bx）－（ay－by）＞0∴（a－b）（x－y）＞0，即a－b与x－y同号∴yxbabayx与均为正数∴yxbabayxyxbabayx2＝2(当且仅当yxbabayx时取“＝”号)∴yxbabayx≥2奎屯王新敞新疆点评：我们在运用重要不等式a2＋b2≥2ab时，只要求a、b为实数就可以了奎屯王新敞新疆而运用定理：“abba2”时，必须使a、b满足同为正数奎屯王新敞新疆本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断xyab与abxy是正还是负，是我们今后解题中常用的方法奎屯王新敞新疆四、课堂练习：1奎屯王新敞新疆已知a、b、c都是正数，求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc分析：对于此类题目，选择定理：abba2（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果奎屯王新敞新疆答案：∵a，b，c都是正数∴a＋b≥2ab＞0；b＋c≥2bc＞0；c＋a≥2ac＞0∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2ab·2bc·2ac＝８abc学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc奎屯王新敞新疆2奎屯王新敞新疆已知x、y都是正数，求证：(1)yxxy≥2；(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3奎屯王新敞新疆分析：在运用定理：abba2时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形奎屯王新敞新疆答案：∵x，y都是正数，∴yx＞0，xy＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0(1)xyyxxyyx2＝2即xyyx≥2奎屯王新敞新疆(2)x＋y≥2xy＞0；x2＋y2≥222yx＞0；x3＋y3≥233yx＞0∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2xy·222yx·233yx＝８x3y3即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3奎屯王新敞新疆3奎屯王新敞新疆求证：（2ba）2≤222ba奎屯王新敞新疆分析：利用完全平方公式，结合重要不等式：a2＋b2≥2ab，恰当变形，是证明本题的关键奎屯王新敞新疆答案：∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2不等式两边同除以4，得222ba≥（2ba）2，即（2ba）2≤222ba奎屯王新敞新疆五、小结：本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（2ba），几何平均数（ab）及它们的关系（2ba≥ab）奎屯王新敞新疆它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数奎屯王新敞新疆它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具奎屯王新敞新疆六、课后作业：(1)“a＋b≥2ab”是“a∈R＋，b∈R＋”的(B)A奎屯王新敞新疆充分不必要条件B奎屯王新敞新疆必要不充分条件C奎屯王新敞新疆充要条件D奎屯王新敞新疆即不充分也不必要条件(2)设b＞a＞0，且a＋b＝1，则此四个数21，2ab，a2＋b2，b中最大的是(A)A奎屯王新敞新疆bB奎屯王新敞新疆a2＋b2Ｃ奎屯王新敞新疆2abD奎屯王新敞新疆21学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网(3)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(B)A奎屯王新敞新疆1≤ab≤222baB奎屯王新敞新疆ab＜1＜222baC奎屯王新敞新疆ab＜222ba＜1D奎屯王新敞新疆222ba＜ab＜1(4)已知a，b∈R＋且a＋b＝4，则下列各式恒成立的是(B)A奎屯王新敞新疆211abB奎屯王新敞新疆ba11≥1Ｃ奎屯王新敞新疆ab≥2D奎屯王新敞新疆41122ba(5)若a＞b＞0，则下面不等式正确的是(C)A奎屯王新敞新疆abbabaab22B奎屯王新敞新疆abbaabba22C奎屯王新敞新疆22baabbaabD奎屯王新敞新疆22babaabab(6)若a，b∈R且a≠b，在下列式子中，恒成立的个数为（D）①a2＋3ab＞2b2②a５＋b５＞a3b2＋a2b3③a2＋b2≥2（a－b－1）④abba＞2A奎屯王新敞新疆4B奎屯王新敞新疆3Ｃ奎屯王新敞新疆2D奎屯王新敞新疆1(7)设a，b，c是区间(0，1)内的三个互不相等的实数且p＝logc2ba，q＝2loglogbacc，r＝2log21bac，则p，q，r的大小关系是(C)A奎屯王新敞新疆p＞q＞rB奎屯王新敞新疆p＜q＜rC奎屯王新敞新疆r＜P＜qD奎屯王新敞新疆p＜r＜q(8)已知x＞y＞0，xy＝1，求证：yxyx22≥22奎屯王新敞新疆证明：∵x＞y＞0，xy＝1∴yxyxyxxyyxyxyx2)(2)(222≥2yxyx2)(＝22，即yxyx22≥22(9)已知a＞2，求证：loga（a－1）·loga（a＋1）＜1奎屯王新敞新疆证明：∵a＞2∴loga(a－1)＞0,loga(a＋1)＞0,loga(a－1)≠loga(a＋1)∴loga（a－1）·loga（a＋1）＜［2)1(log)1(logaaaa］2＝［21loga（a2－1））2＜（21logaa2）2＝1即loga（a－1）·loga（a＋1）＜1奎屯王新敞新疆(10)已知a，b∈R，证明：log2（2a＋2b）≥22ba奎屯王新敞新疆证明：∵a，b∈R∴log2（2a＋2b）≥log2（2ba22）＝log2（2·22ba）＝1＋2ba学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网＝22ba,即log2（2a＋2b）≥22ba奎屯王新敞新疆(11)若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：29111accbba奎屯王新敞新疆证明：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1∴2＝（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a）∴［（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a）］·（accbba111）≥3·))()((accbba×3·3111accbba＝９故29111accbba奎屯王新敞新疆(12)已知方程ax2＋bx＋c＝0有一根x1＞0，求证：方程cx2＋bx＋a＝0必有一根x2，使得x1＋x2≥2奎屯王新敞新疆证明：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一根x1＞0∴ax12＋bx1＋c＝0,∴a＋211xcxb＝0∴c（11x）2＋b·11x＋a＝0(方程cx2＋bx＋a＝0必有一根11x＞0)∴x1＋x2＝x1＋11x≥2故方程cx2＋bx＋a＝0必有一根x2，使得x1＋x2≥2奎屯王新敞新疆七、板书设计（略）八、课后记：