2.5 等比数列的前n项和ppt

•1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程．•2.能够应用前n项和公式解决等比数列有关问题．•3.进一步提高解方程(组)的能力，以及整体代换思想的应用能力.复习:等比数列{an}an+1an=q(定值)(1)等比数列:(2)通项公式:an=a1•qn-1(4)重要性质:n-man=am•qm+n=p+qan•aq•am=ap注:以上m,n,p,q均为自然数成等比数列(3)bGa,,)0(,2ababG).0,0(1qa5、数列中通项与前n项和的关系：)2()1(.111nSSnSannn）nnSa求已知,).2探求等比数列求和的方法问题：已知等比数列,公比为q,求：nannaaaaS321思考：呢？来表示这些基本量如何用nnSanqa,,,1112111nqaqaqaa⑴×q,得nqS.11121211nnnqaqaqaqaqa⑵⑴－⑵，得,111nnqaaSq由此得q≠1时，qqaSnn111等比数列的前n项和nnaaaaS321设等比数列,,,,,321naaaa它的前n项和是.11212111nnnqaqaqaqaaS⑴即说明：这种求和方法称为错位相减法显然，当q=1时，1naSn用等比定理推导当q=1时Sn=na1因为所以合比定理：Sn=a1+a2+a3+…….+an-1+an=a1+a1q+a1q2+…..+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+….+a1qn-3+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)Sn=a1(1–qn)1–q1)(q等比数列前n项和公式公式２：)1(q)1(q111naqqaaSnn)1(q111)1(naqqaSnn)1(q公式１：nnSanqa,,,,1根据求和公式，运用方程思想，五个基本量中“知三求二”.注意对是否等于进行分类讨论q111nnqaa例1、求下列等比数列前8项的和,81,41,21)1(0,2431,27)2(91qaa解：时所以当8n256255211211218nS:,2431,2791可得由aa)2(8272431q)1(因为21,211qa可得：又由,0q31q时于是当8n811640)31(1311278nS【例2】1916,,169781,.144nnnaaaSqn已知等比数列中，求公比及项数解法1：11naaq19161699(1)781161144nnnnaqqSq②①443nqq③③代入②得4941163781.1144qq4.3q解得：代入③得：n=5.11.naaq191678116911144nnqaqaSqq4.3q解得：1916169nnaq又4143nq5.n144433n解法21916,,169781,.144nnnaaaSqn已知等比数列中，求公比及项数【例2】例3.某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10％，那么从第1年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的销售量组成一个等比数列{}na其中15000,a001101.1q30000nS可得：5000(11.1)11.130000nnS6.11.1n可得：两边取对数，得：6.11.1lglgn5041.020.0n利用计算器得：(年)答：约5年内可以使总销售量达到30000台。练习在等比数列{an}中，(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求a4和S5；(3)若q＝2，S4＝1，求S8.[解题过程](1)由Sn＝a11－qn1－q，an＝a1qn－1以及已知条件得189＝a11－2n1－2，96＝a1·2n－1，∴a1·2n＝192，∴2n＝192a1.∴189＝a1(2n－1)＝a1192a1－1，∴a1＝3.又∵2n－1＝963＝32，∴n＝6.(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得a1＋a1q2＝10，a1q3＋a1q5＝54，即a11＋q2＝10，①a1q31＋q2＝54.②∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝18，即q＝12，∴a1＝8.∴a4＝a1q3＝8×123＝1，S5＝a11－q51－q＝8×1－1251－12＝312.(3)方法一：设首项为a1，∵q＝2，S4＝1，∴a11－241－2＝1，即a1＝115，∴S8＝a11－q81－q＝1151－281－2＝17.方法二：∵S4＝a11－q41－q＝1，且q＝2，∴S8＝a11－q81－q＝a11－q41－q(1＋q4)＝S4·(1＋q4)＝1×(1＋24)＝17.练习2.求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.,2,11qa解：.1521)21(144S.102321)21(11010S.1008151023410SS从第5项到第10项的和:,128,66)1(3121nnnaaaaa中，在等比数列、qnsn、求,1261286612866111121nnnnaaaaaaaa即解：的两根是方程012866,21xxaan26464211nnaaaa或解得：1,1qaan126,64,2111qqaannnsaa则若①2,1261642qqq即即6,2264,111nqaannn又②6,,2,64211nqaan则同理可得若2,6,21或综上所述qn1、求和公式当q≠1时，1(1)1nnaqSq11nnaaqSq当q=1时，1nSna①注意分类讨论的思想！等比数列求和时必须弄清q=1还是q≠1.②运用方程的思想，五个量“知三求二”.2、公式的推导方法强调：（重在过程）③注意运用整体运算的思想.小结等比数列的前n项和（二）1、求和公式当q≠1时，1(1)1nnaqSq11nnaaqSq当q=1时，1nSna①注意分类讨论的思想！等比数列求和时必须弄清q=1还是q≠1.②运用方程的思想，五个量“知三求二”.2、公式的推导方法强调：（重在过程）③注意运用整体运算的思想.回顾问题探究一：等比数列前n项和的性质若等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，则：Sm＋n＝Sm＋qmSn.证明左边＝Sm＋n＝(a1＋a2＋…＋am)＋(am＋1＋am＋2＋…＋am＋n)＝Sm＋(a1qm＋a2qm＋…＋anqm)＝Sm＋(a1＋a2＋…＋an)qm＝Sm＋qmSn＝右边，∴Sm＋n＝Sm＋qmSn.所以得到“相关和”性质：Sn＋m＝Sm＋qmSn1234910111217181920naaaaaaaaaaaaa例2:已知等比数列,+++=4,+++=16,求+++的值.:,naq解设等比数列为8910111212348,4.aaaaaaaaqq++++++8171819209101112()64.aaaaaaaaq++++++2.748,14若某等比数列中前项的和为前项的和为60,则前21项的和为______63.练习问题探究2在等比数列{an}中，若连续m项的和不等于0，则它们仍组成等比数列．即Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列．且公比为qm请你证明上述结论．证明∵在等比数列{an}中有am＋n＝amqn，∴Sm＝a1＋a2＋…＋am，S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1qm＋a2qm＋…＋amqm＝(a1＋a2＋…＋am)qm＝Sm·qm.同理S3m－S2m＝Sm·q2m，…，在Sm≠0时，有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍组成等比数列．例1：已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30.[解题过程]方法一：设公比为q，则a11－q101－q＝10①a11－q201－q＝30②②①得1＋q10＝3，∴q10＝2，∴S30＝a11－q301－q＝a11－q101－q(1＋q10＋q20)＝10×(1＋2＋4)＝70.方法二：∵S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列，又S10＝10，S20＝30，∴S30－S20＝S30－30＝30－10210，即S30＝70.,14,n:2nnnssa若项和为的前设等比数列例nnss32,126求1262,14,1121nasnasqnn则解：若矛盾1q1261141212111nqannqanqsqs①②891nnqq两式相比得：211qa得：①代入10228121133131311nqanqanqqs•[题后感悟]等比数列前n项和的常用性质：•(1)“片断和”性质：等比数列{an}中，公比为q，前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m•－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为qm的•等比数列，即等比数列的前m项的和与以后依次m项的和构成等比数列．推导过程:2221222111,,11.nnaqaqSSqqSaqSa偶奇偶奇(1)qqSSnan奇项，则有列问题探究三、若等比数偶2(2)若等比数列共有2n＋1项，则S奇－S偶＝a1＋a2n＋21＋q(q≠1且q≠－1)．,例1．已知一个等比数列的首项为1，项数为偶数，奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．解：设该等比数列为{an}．公比为q，项数为n，由题意得：S偶S奇＝a2＋a4＋…＋ana1＋a3＋…＋an－1＝q＝17085＝2，∴q＝2Sn＝a11－qn1－q＝2n－1＝85＋170＝255.∴2n＝256，∴n＝8.练习：2、等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，求该数列的公比q.解析：由题意知S奇＝S偶＋80，则S2n＝S偶＋S奇＝2S偶＋80＝－240，∴S偶＝－160，则S奇＝－80，∴q＝S偶S奇＝－160－80＝2.1359911.,602________.qaaaa100已知等比数列的公比为且++++则S90例1：求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．解：(1)当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.(2)当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝x1－xn1－x－nxn＋1.∴Sn＝x1－xn1－x2－nxn＋11－x.综合所述，Sn＝nn＋12x＝1，x1－xn1－x2－nxn＋11－xx≠1且x≠0.X=0呢？•[题后感悟]错位相减法•一般来说，如果数列{an}是等差数列，公差为d；数列{bn}是等比数列，公比为q，则求数列{anbn}的前n项和就可以运用错位相减法．•在运用错位相减法求数列的和时，要注意以下四个问题：•(1)注意对q的讨论，在前面的讨论中，我们已