1.2 (新)随机事件的概率

数学科学学院徐鑫概率论与数理统计§2随机事件的概率研究随机事件时，不仅希望了解哪些随机事件可能出现，而且希望知道事件出现的可能性的大小。而“概率”的概念正是源于这种需要而产生的。本节课的安排大致如下一、概率的统计概念及性质二、古典概型的研究三、几何概型的研究四、小结数学科学学院徐鑫概率论与数理统计定义1设在相同条件下进行的n次试验中事件A发生nA(频数)次，称比值nnAfAn)(①;1)(0Afn()1;nfS若是两两互斥事件组，则kAAA,,,21.)(11kiinkiinAfAf),,2,1,;(kjijiAAji为事件A发生的频率。1、频率频率具有下列性质：②③一、概率的统计定义数学科学学院徐鑫概率论与数理统计实例将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做7遍,观察正面出现的次数及频率.试验序号5nHnf12345672315124Hnf50n22252125241827Hn500n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502处波动较大在21处波动较小在21波动最小随n的增大,频率f呈现出稳定性数学科学学院徐鑫概率论与数理统计实验者德.摩根蒲丰K.皮尔逊K.皮尔逊nHnf204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005)(Hf的增大n.21数学科学学院徐鑫概率论与数理统计频率具有下列特点：随机波动性—在第五章将证明贝努里大数定理:1limpnnPAn从理论上保证了利用频率稳定值量度事件发生的可能性大小(概率)的可行性.pA频率稳定性—对相同或不同的试验次数，同一事件的频数不一定相同，从而所得的频率也不一定相同，因而无法用频率来量度事件发生的可能性的大小；随着试验次数的无限增大，事件的频率逐渐稳定于某个常数。因而可用该常数来度量事件发生的可能性的大小。数学科学学院徐鑫概率论与数理统计重要结论频率当n较小时波动幅度比较大,当n逐渐增大时,频率趋于稳定值,这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的概率.数学科学学院徐鑫概率论与数理统计2、概率的统计定义事件A发生的频率的稳定值p称为A的统计概率，即定义pAP)(当试验次数n相当大时，可以用频率作为概率的近似值：)()(AfAPn数学科学学院徐鑫概率论与数理统计定义2设Ω为随机试验E的样本空间，对E的每个事件A，称满足下列公理的实数(集合函数)P(A)为事件A的概率:3、概率公理化定义由频率的三条性质演绎为三条公理，由此可得度量事件发生可能性大小的概率的公理化定义.、非负性;0)(AP、规范性()1;P、可列可加性设为两两互斥事件组,则有,,21AA).(11kkkkAPAP数学科学学院徐鑫概率论与数理统计4、概率的性质1()()()()1.PSPSPPSP由概率的公理化定义可得概率的性质:性质1P(Φ)=0.〖证〗由定义2的第2条，可知ΦS=Φ,Φ∪S=S得:得:.0)(P性质2设为两两互斥事件组,则有nAAA,,21).(11nkknkkAPAP[有限可加性]数学科学学院徐鑫概率论与数理统计性质3[概率减法公式]()()()PABPAPAB〖证〗()AABAB且()ABAB由可加性()()()PAPABPAB移项得()()()PABPAPAB数学科学学院徐鑫概率论与数理统计〖证〗将事件B分解为互斥事件的和事件得：推论若,则ABS);()()(APBPABP.)(,)(ABAABAB由有限可加性得:)]([)(ABAPBP即得:).()()(ABPAPBP由非负性得:).()(APBP减法公式有条件).()(APBP).()(ABPAP数学科学学院徐鑫概率论与数理统计).(1)(APAP〖证〗因为,,AASAA1()()()()PSPAAPAPA即).(1)(APAP注意：公式在计算概率时是非常有用的.当直接计算某事件概率比较困难时,可以转而计算其对立事件的概率，进而利用上述公式所需的概率.)(1)(APAP性质4所以由有限可加性及规范性得:数学科学学院徐鑫概率论与数理统计〖证〗将A∪B互斥分解得:).()()()(ABPBPAPBAP,)(,)(BABABABABA又,AAB故由有限可加性与减法公式得:加法公式性质5)()()(BPABPAP)()()(BPABAPBAP).()()(ABPBPAP数学科学学院徐鑫概率论与数理统计).()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP加法公式可推广至有限个事件的和事件.例如，三个事件的加法公式:n个事件的加法公式请看教材,掌握其规律.在应用文氏图的直观性时，可以把事件A的概率视为该平面集合A的面积，注意P(S)=1。利用此观点容易理解和记忆一些概率公式（例如，减法公式，加法公式，乘法公式等）。数学科学学院徐鑫概率论与数理统计设A,B,C为三事件,P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=0.125.求A,B,C至少有一个发生的概率.〖解〗由于,故利用概率非负性与减法公式得:ABABC0)()(0ABPABCP即.0)(ABCP由三事件的加法公式得“A,B,C至少有一个发生”的概率为:)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP【例1】.8508100414141注意：选择有助于解题,但若从无法确定的值.BCABCABABC,ACABC)(ABCP数学科学学院徐鑫概率论与数理统计解),()()1(BPABP由图示得.21)()(BPABP故)()()()2(APBPABP由图示得.613121.81)()3(;)2(;)1(.)(,2131,ABPBABAABPBA互斥与的值三种情况下求在下列和的概率分别为设事件BASSAB【例2】数学科学学院徐鑫概率论与数理统计,)3(ABABA由图示得),()()()(ABPBPAPBAP又),()()(ABPAPBAAP)()()(ABPBPABP因而.838121,ABA且SABAB数学科学学院徐鑫概率论与数理统计二、古典概型定义3具有下列特点的随机试验称为古典概型(等可能概型):1、试验的样本点只有有限个;2、试验中每个基本事件发生的可能性相同.下面讨论古典概率中事件概率的计算公式数学科学学院徐鑫概率论与数理统计12{,,,}n12({})({})({})nPPP设古典概型E的样本空间为且每个样本点出现的概率的都相同，于是有又由于基本事件是两两互不相容的，于是121()({})({})({})({})niPPPPnP从而得：1({}),1,2,,iPinn数学科学学院徐鑫概率论与数理统计设古典概型Ｅ的样本空间Ω含有n个样本点，事件Ａ包含k个样本点，则事件Ａ的概率定义为nkAP)(有利场合数基本事件总数显然，计算古典概率关键在“计数”上，常用到排列和组合的知识。可见，事件A的古典概率等于事件A所含样本点总数[有利场合数]与样本空间所含样本点总数[基本事件总数]之比；即事件A的概率只与A中所包含的样本点的个数有关，而与A包含的是哪几个具体的样本点无关的。将一枚均匀骰子连掷两次，求下列事件的概率：（1）A：两次点数之和为8；（2）B：两次点数中最大点数不超过3。【例3】〖解〗不难看出：样本空间为{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6);(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6);(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6);(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6);(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6);(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}（1）{(,)|8}{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}Aijij。2636n5k因为样本点总数:事件A的有利场合数:所以由古典概率计算公式得：5()36kPAn数学科学学院徐鑫概率论与数理统计（2）{(,)|max(,)3}{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),Bijij(3,1),(3,2),(3,3)}2636n9k91()364kPAn因为样本点总数:事件B的有利场合数:所以由古典概率计算公式得：数学科学学院徐鑫概率论与数理统计【例4】设有N件产品,其中D件为次品.现从中作不放回抽样任取n件,求其中恰有k(k≤D)件次品的概率.〖解〗从N件产品中任取n件,每种不同取法就是一个样本点，样本点总数(从N件中取n件的组合数)为.nNkDknDNCCCp,nNnC事件“任取n件中恰有k件次品”的所含样本点数(从D件次品中取k件,再从N-D件正品中取n-k件,乘法原理)为,nkkNDDkCC故所求概率为（超几何分布）相关知识：排列与组合（组合数学）。计算古典概率的基本思路1、设事件2、计数3、用公式正确计数是关键。此外，解题时注意模型化。一般在理解题意下，设出一些简单事件，使其它复杂事件能利用简单事件的关系与运算表达出来；分清基本事件，运用排列或组合等计数方法计算基本事件总数与有关事件的有利场合数；常用古典概率计算公式、对立事件概率公式、加法公式、全概公式、贝叶斯公式、乘法公式等。数学科学学院徐鑫概率论与数理统计三、几何概率定义4设试验E的样本空间Ω为一几何区域，其测度[长度、面积或体积等]m(Ω)为有限值,若任意事件A发生的概率与A的测度m(A)成正比,则称该试验为几何概型.()()()mAPAm设试验E为几何概型,A为事件,则A发生的概率定义为:数学科学学院徐鑫概率论与数理统计以x，y分别表示两人到达的时刻，则会面的充要条件为【例5】(会面问题)两同学相约7点到8点在南大门会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去，求两人能会面的概率。〖解〗.20||yx这是几何概率问题：可能结果的点(x,y)构成边长60的正方形；能会面的点(x,y)构成会面区域，故所求概率为.95604060222p数学科学学院徐鑫概率论与数理统计在长为a的线段上任意取两点，将线段在这两点处折断，求所得三段能围成三角形的概率。【练习】,0;0;0:yxayx〖解〗设各段长度分别为x，y，a-x-y，则且能围成三角形的充要条件是任意两边之和均大于第三边，即：样本空间围区域：Oxyaaayx数学科学学院徐鑫概率论与数理统计aaayx,;;:yyaxxayxayxA即/2;:/2;/2,xyaAxayaOxy2/a2/a2/ayx于是，三段能围成三角形的概率为41p数学科学学院徐鑫概率论与数理统计2.最简单的随机现象古典概型古典概率几何概型试验结果连续无穷四、小结1.频率(波动)概率(稳定).n中的样本点总数中包含的样本点数AnmAP)(数学科学学院徐鑫概率论与数理统计).()()(),()(,,,)4(BPAPBAPBPAPBABA则且为两个事件设3.概率的主要性质,1)(0)1(AP;)(,)(01