高考复习-基本初等函数9

第9课时函数与方程1.函数的零点(1)对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的．(2)方程f(x)＝0有解⇔函数y＝f(x)的图象⇔函数y＝f(x)有零点．基础知识梳理零点与x轴有交点基础知识梳理1.所有的函数都有零点吗？【思考·提示】并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．(3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是方程f(x)＝0的根．基础知识梳理f(a)·f(b)0(a，b)f(c)＝0c基础知识梳理2.在上面的条件下，(a，b)内的零点有几个？【思考·提示】在上面的条件下，(a，b)内的零点至少有一个c，还可能有其他零点，个数不确定．2．二分法(1)二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．基础知识梳理f(a)·f(b)0一分为二基础知识梳理(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步：确定区间[a，b]，验证，给定精确度ε.第二步：求区间(a，b)的中点x1.f(a)·f(b)0第三步：计算：①若，则x1就是函数的零点；②若，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))；基础知识梳理f(x1)＝0f(a)·f(x1)0f(x1)·f(b)0f(x1)第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重重复第二、三、四步．基础知识梳理三基能力强化1．(教材习题改编题)函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()答案：B三基能力强化2．函数f(x)＝ex－1x的零点所在的区间是()A．(0，12)B．(12，1)C．(1，32)D．(32，2)答案：B3．函数f(x)＝x3－2x2＋x的零点是()A．0B．1C．0和1D．(0,0)和(1,0)答案：C三基能力强化4．若函数f(x)＝2x2－ax＋3有一个零点是1，则f(－1)＝________.答案：10三基能力强化5．(2009年高考山东卷)若函数f(x)＝ax－x－a(a0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．答案：a＞1三基能力强化函数零点个数的判定有下列几种方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．课堂互动讲练考点一函数的零点(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．课堂互动讲练(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．课堂互动讲练课堂互动讲练例1判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．【思路点拨】判定函数在端点处的函数值正负，然后判断是否存在零点．课堂互动讲练【解】(1)法一：因为f(1)＝－200，f(8)＝220，所以f(1)·f(8)0，故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．法二：令x2－3x－18＝0，解得x＝－3或6，所以函数f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．课堂互动讲练(2)∵f(－1)＝－10，f(2)＝50，f(－1)·f(2)0，∴f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]存在零点．(3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1log22－1＝0.f(3)＝log2(3＋2)－3log28－3＝0.∴f(1)·f(3)0.故f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．课堂互动讲练【名师点评】函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．课堂互动讲练课堂互动讲练例2【思路点拨】借助函数零点存在性定理和函数在[－1,1]上的单调性来判断．判断函数f(x)＝4x＋x2－23x3在区间[－1,1]上零点的个数，并说明理由．∴f(x)在[－1,1]上是单调递增函数，∴f(x)在[－1,1]上有且只有一个零点．课堂互动讲练【解】∵f(－1)＝－4＋1＋23＝－730，f(1)＝4＋1－23＝1330，∴f(x)在区间[－1,1]上有零点．又f′(x)＝4＋2x－2x2＝92－2(x－12)2，当－1≤x≤1时，0≤f′(x)≤92，【规律小结】方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断．课堂互动讲练课堂互动讲练互动探究f(2)＝203＞0.若例2中x的范围改为R，试回答原来问题．解：∵f′(x)＝4＋2x－2x2，令f′(x)＝0，∴x＝2，－1.∴x＝2是f(x)的极大值点．课堂互动讲练x＝－1是f(x)的极小值点，f(－1)＝－133＜0，∴f(x)有三个零点．1．用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得到各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程；课堂互动讲练考点二用二分法求方程的近似解2．在确定方程近似解所在的区间时，转化为求方程对应函数的零点所在的区间，找出的区间[a，b]长度尽可能小，且满足f(a)·f(b)＜0.课堂互动讲练课堂互动讲练例3求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度为0.1)．【思路点拨】令方程左边为f(x)，找f(x)存在零点的区间[a，b]→用二分法求f(x)的零点→得方程的近似解．【解】设f(x)＝2x3＋3x－3.经计算，f(0)＝－30，f(1)＝20，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，又f(1)0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解，课堂互动讲练如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表.课堂互动讲练(a，b)(a，b)的中点f(a＋b2)(0,1)0.5f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.625)0(0.625,0.75)0.6875f(0.6875)0(0.6875,0.75)|0.6875－0.75|＝0.06250.1至此，可以看出方程的根落在区间长度小于0.1的区间(0.6875,0.75)内，可以将区间端点0.6875作为函数f(x)零点的近似值．因此0.6875是方程2x3＋3x－3＝0精确度为0.1的一个近似解．课堂互动讲练【思维总结】求函数零点的近似值的关键是利用二分法求值过程中，区间长度是否小于精确度ε，当区间长度小于精确度ε时，运算即告结束．课堂互动讲练有些问题利用零点求参数的范围，可利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图象求解，使得问题简单明了．这也体现了当不是求零点，而是求零点的个数，或有零点时求参数的范围，一般采用数形结合法求解．课堂互动讲练考点三函数零点的综合应用课堂互动讲练例4(解题示范)(本题满分12分)(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x0)．【思路点拨】(1)g(x)＝m有零点，可以结合图象也可以解方程．(2)利用图象求解．课堂互动讲练课堂互动讲练【解】(1)法一：∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，2分等号成立的条件是x＝e，3分故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点.5分课堂互动讲练3分可知若使g(x)＝m有零点，则只需m≥2e.5分法二：作出g(x)＝x＋e2x的图象如图：课堂互动讲练法三：解方程由g(x)＝m得x2－mx＋e2＝0.2分此方程有大于零的根，故m20Δ＝m2－4e2≥04分等价于m0m≥2e或m≤－2e，故m≥2e.5分(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．课堂互动讲练作出g(x)＝x＋e2x(x0)的图象.7分∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.课堂互动讲练其图象对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.10分故当m－1＋e22e，即m－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞).12分【误区警示】在讨论g(x)－f(x)＝0有两个相异实数根时，求g(x)的最小值小于f(x)的最大值时不能取到等号．课堂互动讲练(本题满分12分)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a，求满足下列条件a的值．(1)有两个零点；(2)有三个零点；(3)无零点；(4)有四个零点．课堂互动讲练高考检阅解：函数f(x)＝|4x－x2|＋a有零点，等价于|4x－x2|＋a＝0有实根，即|4x－x2|＝－a有实根，令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a，则上述问题等价于g(x)与h(x)有交点，故作出g(x)的图象，由图象可知：课堂互动讲练课堂互动讲练(1)当-a=0或-a＞4，即a=0或a＜-4时，g(x)与h(x)有两个交点，即f(x)有两个零点；4分(2)当－a＝4，即a＝－4时，h(x)与g(x)的图象有三个交点，即f(x)有三个零点.6分课堂互动讲练(3)当－a＜0，即a＞0时，g(x)与h(x)图象无交点；即f(x)无零点.8分(4)当0＜－a＜4，即－4＜a＜0时，g(x)与h(x)图象有四个交点，即f(x)有四个零点.10分综上所述：(1)当a＝0或a＜－4时，f(x)有两个零点．(2)当a＝－4时，f(x)有三个零点；(3)当a＞0时，f(x)无零点．(4)当－4＜a＜0时，f(x)有四个零点.12分课堂互动讲练1．函数零点的理解(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与x轴交点的个数．规律方法总结(2)变号零点与不变号零点．①若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f(x)的变号零点．②若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f(x)的不变号零点．③若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，则f(a)·f(b)＜0是f(x)在区间(a，b)内有零点的充分不必要条件．规律方法总结2．用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根．(2)求曲线y＝f(x)和y＝g(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数y＝f(x)－g(x)的零点，即求f(x)－g(x)＝0的根．规律方法总结3．用二分法求函数零点近似值的步骤须注意的问题(1)第一步中要使：①区间长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)＜0.(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程f(x)＝g(x)的根，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)＝g(x)的根．规律方法总结