高中数学3-2-1《几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式》同步课件新人教A版选修

3．2导数的计算1．知识与技能了解常数函数和幂函数的求导方法和规律，会求任意y＝xα(α∈Q)的导数．2．过程与方法掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数．本节重点：常数函数、幂函数的导数本节难点：由常见幂函数的求导公式发现规律，得到幂函数的求导公式．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开．1．在应用(sinx)′＝cosx与(cosx)′＝－sinx时，一要注意函数的变化；二要注意符号的变化．2．对于公式(ax)′＝axlna与(logax)′＝1xlna记忆较难，又易混淆，我们应从以下几个方面加深公式的理解与记忆(1)区分公式的结构特征，既要从纵的方面“(lnx)”与(logax)′和“(ex)”与(ax)′区分，又要从横的方面(logax)′与(ax)′区分，找出差异记忆公式．(2)理解(logax)′的推导过程(logax)′＝lnxlna′＝1lna(lnx)′＝1lna·x.1．若f(x)＝c，则f′(x)＝.若f(x)＝xn(n∈N*)，则f′(x)＝.2．若f(x)＝sinx，则f′(x)＝.若f(x)＝cosx，则f′(x)＝.3．若f(x)＝ax，则f′(x)＝．若f(x)＝ex，则f′(x)＝.若f(x)＝1x，则f′(x)＝－1x2.若f(x)＝logax，则f′(x)＝1xlna(a0，且a≠1)．若f(x)＝lnx，则f′(x)＝1x.0nxn－1cosx－sinxaxlna(a0)ex[例1]求下列函数的导数．(1)y＝a2(a为常数)．(2)y＝x12.(3)y＝cosx.[解析](1)∵a为常数，∴a2为常数，∴y′＝(a2)′＝0.(2)y′＝(x12)′＝12x11(3)y′＝(cosx)′＝－sinx.[点评](1)用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁．利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度．(2)利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构进行调整．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．求下列函数的导数(1)y＝1x2(2)y＝3x(3)y＝2x(4)y＝log2x[解析](1)y′＝1x2′＝(x－2)′＝－2x－3(2)y′＝(3x)′＝(x13)′＝13x－23(3)y′＝(2x)′＝2xln2(4)y′＝(log2x)′＝1xln2[例2]求函数f(x)＝1x在x＝1处的导数．[解析]f′(x)＝1x′＝(x－12)′＝－12x－12－1＝－12x－32＝－12x3，∴f′(1)＝－121＝－12，∴函数f(x)在x＝1处的导数为－12.[点评]求函数在某点处的导数的步骤是先求导函数，再代入变量的值求导数．已知f(x)＝1nx，且f′(1)＝－13，求n.[解析]f′(x)＝1nx′＝(x－1n)′＝－1nx－1n－1＝－1nx－n＋1n＝－1nnxn＋1，∴f′(1)＝－1nn1＝－1n，由f′(1)＝－13得－1n＝－13，得n＝3.[例3]求过曲线y＝cosx上点Pπ3，12且与在这点的切线垂直的直线方程．[解析]∵y＝cosx，∴y′＝－sinx，曲线在点Pπ3，12处的切线斜率是y′|x＝π3＝－sinπ3＝－32.∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为23，[点评]在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数y′是否为零，当y′＝0时，切线平行于x轴，过切点P垂直于切线的直线斜率不存在．∴所求的直线方程为y－12＝23x－π3，即2x－3y－2π3＋32＝0.求曲线y＝3x2的斜率等于12的切线方程．[解析]设切点为P(x0，y0)，则y′＝(3x2)′＝6x，∴y′|x＝x0＝12，即6x0＝12，∴x0＝2当x0＝2时，y0＝12∴切点P的坐标为(2,12)∴所求切线方程为：y－12＝12(x－2)，即y＝12x－12.一、选择题1．函数f(x)＝0的导数是()A．0B．1C．不存在D．不确定[答案]A[解析]常数函数的导数为0A．x－y－1＝0B．x＋y－3＝0C．x－y＋1＝0D．x＋y－1＝0[答案]A2．抛物线y＝14x2在点(2,1)处的切线方程是()[解析]y′＝12x，y′|x＝2＝12×2＝1，∴抛物线y＝14x2在点(2,1)处的切线斜率为1，方程为x－y－1＝0.[答案]D3．已知函数f(x)＝1x，则f′(－2)＝()A．4B.14C．－4D．－14[解析]f′(x)＝1x′＝－x－1－1＝－x－2，∴f′(－2)＝－x－2|x＝－2＝－14.[答案]B4．下列结论中不正确的是()A．若y＝3，则y′＝0B．若y＝1x，则y′＝－12xC．若y＝－x，则y′＝－12xD．若y＝3x，则y′|x＝1＝3[解析]y′＝(x－12)′＝－12x－12－1＝－12x－32＝－12xx.二、填空题5．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于________．[答案]3[解析]y′＝nxn－1，∴y′|x＝2＝n2n－1＝12，∴n＝3.6．若函数y＝sint，则y′|t＝6π＝________.[答案]1[解析]y′＝(sint)′＝cost，y′|t＝6π＝cos6π＝1.三、解答题7．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．[解析]平移直线x－y－2＝0与抛物线y＝x2相切，设切点为P(x0，y0)，y′|x＝x0＝2x0＝1，∴x0＝12，y0＝14，由点到直线的距离公式，得最短距离d＝12－14－22＝728.