高中数学三角恒等变换练习

第1页（共19页）高中数学三角恒等变换练习一．选择题（共12小题）1．（2016•福建模拟）已知sin（x+）=，则cosx+cos（﹣x）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．2．（2016•郑州一模）cos160°sin10°﹣sin20°cos10°（）A．﹣B．C．﹣D．3．（2015•天津校级一模）若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或4．（2015•保定一模）sin15°﹣cos15°=（）A．B．C．﹣D．﹣5．（2015•江西一模）sin135°cos（﹣15°）+cos225°sin15°等于（）A．﹣B．﹣C．D．6．（2015•哈尔滨校级二模）若向量=（sin（α+），1），=（1，cosα﹣），⊥，则sin（α+）=（）A．﹣B．C．﹣D．7．（2015•吉林校级四模）在△ABC中，若tanAtanB=tanA+tanB+1，则cosC=（）A．B．C．D．8．（2015•烟台一模）已知α，β∈（0，π）且，则2α﹣β=（）A．B．C．D．第2页（共19页）9．（2015•大连校级模拟）已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1B．2C．D．310．（2015•江西一模）已知12sinα﹣5cosα=13，则tanα=（）A．﹣B．﹣C．±D．±11．（2015春•沈阳期末）下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15°B．C．D．12．（2015秋•南昌校级期末）已知tanx=﹣，则sin2x+3sinxcosx﹣1的值为（）A．﹣B．2C．﹣2或2D．﹣2二．填空题（共15小题）13．（2016春•南京校级月考）cos（α+β）=，tanαtanβ=，求cos（α﹣β）=．14．（2016•凉山州模拟）设向量=（3cosx，1），=（5sinx+1，cosx），且∥，则cos2x=．15．（2015•张掖模拟）已知α为第二象限角，，则cos2α=．16．（2015•天水校级四模）若cos2（α+）=，则sin2α=．17．（2015•温州三模）已知sinα﹣cosα=（0＜α＜），则sin2α=，sin（2α﹣）=．第3页（共19页）18．（2015•大连模拟）若，则cos2α=．19．（2015•闵行区一模）已知θ∈（，π），sin﹣cos=，则cosθ=．20．（2015春•黄冈月考）已知α为第四象限角，sinα+cosα=，则cos2α=．21．（2016•苏州一模）已知θ是第三象限角，且sinθ﹣2cosθ=﹣，则sinθ+cosθ=．22．（2015•徐汇区模拟）若sinαcosα=﹣，α∈（，π），则sinα﹣cosα=．23．（2015秋•广安期末）若tanα=2，则的值为．24．（2015春•邗江区期中）sin40°（tan10°﹣）=．25．（2015春•宜城市校级期中）化简=．26．（2012•靖宇县校级模拟）=．27．（2012•南通模拟）在△ABC中，若tanA+tanB+tanC=1，则tanAtanBtanC=．三．解答题（共3小题）28．（2016•宝山区一模）设a、b、c分别是△ABC三个内角∠A、∠B、∠C的对边，若向量，且，（1）求tanA•tanB的值；（2）求的最大值．29．（2016•宜宾模拟）已知向量=（sinA，cosA），=（，1），•=，且A为锐角．（1）求角A的大小；（2）求函数f（x）=cos2x+8sinAsinx（x∈R）的值域．第4页（共19页）30．（2016•嘉定区一模）已知x∈R，设，，记函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，，a+b=3，求△ABC的面积S．第5页（共19页）2016年04月06日[e-mail]的高中数学三角变换组卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016•福建模拟）已知sin（x+）=，则cosx+cos（﹣x）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的余弦函数．菁优网版权所有【专题】计算题；函数思想；定义法；三角函数的求值．【分析】根据两角和差的余弦公式和正弦公式计算即可．【解答】解：cosx+cos（﹣x）=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=sin（x+）=，故选：B．【点评】本题考查了两角和差的余弦公式和正弦公式，属于基础题．2．（2016•郑州一模）cos160°sin10°﹣sin20°cos10°（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的正弦函数．菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；定义法；三角函数的求值．【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式即可求出．【解答】解：cos160°sin10°﹣sin20°cos10°，=﹣cos20°sin10°﹣sin20°cos10°，=﹣（cos20°sin10°+sin20°cos10°），=﹣sin30°，=﹣，故选：C．【点评】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式，属于基础题．3．（2015•天津校级一模）若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．菁优网版权所有【专题】三角函数的求值．第6页（共19页）【分析】依题意，可求得α∈[，]，2α∈[，π]，进一步可知β﹣α∈[，π]，于是可求得cos（β﹣α）与cos2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，∴2α∈[，2π]，又sin2α=＞0，∴2α∈[，π]，cos2α=﹣=﹣；又sin（β﹣α）=，β﹣α∈[，π]，∴cos（β﹣α）=﹣=﹣，∴cos（α+β）=cos[2α+（β﹣α）]=cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）=﹣×（﹣）﹣×=．又α∈[，]，β∈[π，]，∴（α+β）∈[，2π]，∴α+β=，故选：A．【点评】本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦与二倍角的正弦，考查转化思想与综合运算能力，属于难题．4．（2015•保定一模）sin15°﹣cos15°=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值．菁优网版权所有【专题】三角函数的求值．【分析】利用两角和差的正弦公式，进行化简即可．【解答】解：sin15°﹣cos15°=sin（15°﹣45°）==﹣，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式是解决本题的关键．5．（2015•江西一模）sin135°cos（﹣15°）+cos225°sin15°等于（）A．﹣B．﹣C．D．第7页（共19页）【考点】两角和与差的正弦函数．菁优网版权所有【专题】三角函数的求值．【分析】首先利用诱导公式，化为同角的三角函数，然后逆用两角和与差的正弦函数公式求值．【解答】解：原式=sin45°cos15°﹣cos45°sin15°=sin（45°﹣15°）=sin30°=；故选C．【点评】本题考查了三角函数的诱导公式以及两角和与差的三角函数公式的运用；熟悉公式的特点，熟练运用．6．（2015•哈尔滨校级二模）若向量=（sin（α+），1），=（1，cosα﹣），⊥，则sin（α+）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的正弦函数．菁优网版权所有【专题】三角函数的求值．【分析】利用向量垂直的等价条件进行化简，利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可．【解答】解：∵⊥，∴•=0，即sin（α+）+cosα﹣=0，即sinα+cosα=，即sinα+cosα=，即sin（α+）=，∴sin（α+）=sin（α++π）=﹣sin（α+）=﹣，故选：C【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用向量垂直的等价条件已经三角函数的诱导公式是解决本题的关键．7．（2015•吉林校级四模）在△ABC中，若tanAtanB=tanA+tanB+1，则cosC=（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A+B），将已知等式变形后代入求出tan（A+B）的值，进而确定出tanC的值，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，即可确定出cosC的值．【解答】解：∵tanAtanB=tanA+tanB+1，即tanA+tanB=tanAtanB﹣1，第8页（共19页）∴tan（A+B）==﹣1，即tan（A+B）=﹣tanC=﹣1，∴tanC=1，即C=，则cosC=cos=．故选B【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．8．（2015•烟台一模）已知α，β∈（0，π）且，则2α﹣β=（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数．菁优网版权所有【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】根据已知条件配角：α=（α﹣β）+β，利用两角和的正切公式算出tanαtan[（α﹣β）+β]═，进而算出tan（2α﹣β）=1．再根据α、β的范围与它们的正切值，推出2α﹣β∈（﹣π，0），即可算出2α﹣β的值．【解答】解：∵，∴tanα=tan[（α﹣β）+β]===，由此可得tan（2α﹣β）=tan[（α﹣β）+α]===1．又∵α∈（0，π），且tanα=＜1，∴0＜α＜，∵β∈（0，π），＜0，∴＜β＜π，因此，2α﹣β∈（﹣π，0），可得2α﹣β=﹣π=﹣．故选：C．第9页（共19页）【点评】本题已知角α﹣β与角β的正切值，求2α﹣β的值．着重考查了两角和与差的正切公式、特殊角的三角函数值等知识，属于中档题．解决本题时，请同学们注意在三角函数求值问题中“配角找思路”思想方法的运用．9．（2015•大连校级模拟）已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1B．2C．D．3【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】由题意可得=0，即解得tanθ=2，再由sin2θ+cos2θ==，运算求得结果．【解答】解：由题意可得=sinθ﹣2cosθ=0，即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ===1，故选A．【点评】本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．10．（2015•江西一模）已知12sinα﹣5cosα=13，则tanα=（）A．﹣B．﹣C．±D．±【考点】三角函数的化简求值．菁优网版权所有【专题】三角函数的求值．【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，得到α=θ++2kπ，利用三角函数的诱导公式进行化简求值即可【解答】解：由12sinα﹣5cosα=13，得sinα﹣cosα=1，设cosθ=，则sinθ=，则tanθ==，则方程等价为sin（α﹣θ）=1，则α﹣θ=+2kπ，即α=θ++2kπ，则tanα=tan（θ++2kπ）=tan（θ+）==；故选B第10页（共19页）【点评】本题主要考查三角函数求值，利用辅助角公式结合三角函数的诱导公式是解决本题的关键11．（2015春•沈阳期末）下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15°B．C．D．【考点】三角函数的化简求值；二倍角的正切．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】利用公式对四个选项进行化简求值，所得的结果是的选项即为正确选项，A选项可用正弦的2倍角公式化简，B选项可用余弦的2倍角公式化简，C选项可用正切的2倍角公式化简，D选项中是特殊角，计算即可【解答】解：A选项，sin15°×cos15°=sin30°=，不正确；B选项，=，不正确；C选项，=，正确；D选项，≠，不正确．综上知C选项正确故选C【点评】本题考查三角函数的化简求值，解题的关键是熟练掌握三角函数的二倍角公式，及特殊角的函数值，由此对三角函