第六章(北邮版)大学物理学

1第五章波动学前言§5-1机械波的形成和传播§5-2平面简谐波的波动方程§5-3波的能量§5-4惠更斯原理、波的叠加和干涉§5-5驻波§5-6多普勒效应21、什么是波动波动有机械波，电磁波，物质波波动也是一种运动形式，波动是振动的传播过程。2、波动和其他运动形式相比具时间和空间上的某种重复性3、各类波在传播途中具有共性：类似的波动方程：反射、折射现象：在两种介质的界面上的反射，折射干涉现象：同一介质中，几列波的叠加衍射现象：在介质中绕过障碍物前言3物体弹性形变中的几个基本概念１、形变的分类２、形变的度量、胁变(应变)长胁变：000lllll容胁变：000VVVVVhdtg切胁变：长变：0llFFS容变：0VVPS切变：SFhd4３、胁强（应力），虎克定律：协变与胁强成正比（应力与应变的关系）长变：Fsyll0；体变：0VVBP；切变：GsF４、弹性模量：虎克定律中的比例系数Y──杨氏模量B──体变模量G──切变模量５、形变能量密度：21pw（弹性模量）（胁变）2，例如长变：20)(21llYwp52、机械波产生的条件：1、什么是机械波一个振动以有限的速度在连续介质中的传播。波源（振源）弹性介质一、机械波的产生二、机械波的传播特点：1、横波传播的特点：简谐振动在理想介质中的传播，叫简谐波。－－在此只讨论作简谐振动的波源－－只讨论各向同性均匀无限大无吸收的理想情况。（前提条件：波源相对于介质是静止的）以绳子上所形成横波为例。§11-1机械波的形成和传播61112131516t=0141234567891011121315161412345678910t=T/26111213151614123478910t=T511121315161412345678910t=T/4111213151614123456789101112131516141234567891011121315161412345678910t=3T/4711121315161412345678910t=5T/4①当点波源完成自己一个周期的运动，就有一个完整的波形发送出去。②沿着波的传播方向向前看去，前面的各质元都要重复波源（已知点振动即可）的振动状态（即位相），因此，沿着波的传播方向向前看去，前面质元的振动位相落后于波源的位相。③所谓波形：是指介质中各质元在某确定时刻，各自偏离自己平衡位置位移的矢端曲线──简谐横波可用余弦函数描述。④横波使介质产生切变，——只有能承受切变的物体（固体）才能传递横波。83、表面波•因液面有表面张力，在液面是纵波，横波均可传递。2、纵波的特点•前三点基本上与横波相同。简谐纵波必须经过数学处理后才能用余弦函数处理。•有液面波传播时，液面的流体微元会在平衡位置附近作椭圆振动。液面波不是简谐波。•纵波在介质中引起长变或体变──所有物质都能承受长变，体变（固、液、气体）。在固体中纵波、横波均可传递，但两种波速各不相同。9三、波场波线波面2、波的传播方向称波线。1、波所传播到的空间叫波场(a)点波源波前波线波面(b)球面波波前波面波线(c)平面波3、振动传播时相位相同的点所组成的面称波面，在各向同性的介质中，波线恒与波面垂直。最前面的一个波面称波阵面（或波前）。10波动周期T：一个完整波形通过波线上某固定点所需的时间。或者说，波传播一个波长所需的时间波动频率：单位时间内通过介质中某一点完整波的个数21T1、波长四、描述波动的三个重要参量2、波动周期、频率λλ在波源相对于介质为静止时，波动周期等于波源振动周期。同一波线上振动位相差为2π的相邻的两质点间的距离。或某个振动状态在一个周期内传播的距离为波长。113、波速u某个振动状态（即位相）在介质中传播的速度，波速又叫相速，用u表示，波速决定于介质的力学性质：弹性和惯性（介质的弹性模量和密度）。Guyu//固体中的波速Bu//液体和气体中的波速它表示单位时间内一定振动状态或位相沿波线传播的距离uuTu2波长、波速、周期三者间关系。12注意波速与振速的区别：)(sinuxtAtyv振dtdxu波波速决定于介质的力学性质13一、平面简谐波的波动表达式如前所述,在同一时刻，沿着波的传播方向，各质点的振动状态或位相依次落后；波动是介质中大量质点参与的集体运动（振动）如何用数学式来描述大量质点以一定位相关系进行集体振动呢？§11-2平面简谐波的波动方程141、思路介质中所有质点的振动方程任一波面上任一质点振动方程通式任一波线上任一质点振动方程式的通式2、过程条件：B、波是沿着X轴正向传播，传播速度为uC、波源的振动方程y=AcosωtD、波源相对于介质静止A、波源在坐标原点，X轴与某一波线重合15设P为波线（即x轴）上的一点，其坐标为x，uPxxyo那么0点的振动传到P点需时间为：Dt=x/u16在P点的观察者，认为P点在t时刻（Ｐ点的钟）所重复的振动状态是0点在[t-(x/u)]时刻的振动状态。由于P为任选的，所以上式所表示的是任一波线上任一点振动方程的通式，此即所求的平面简谐波的的波动表达式。P点在t时刻的振动状态＝0点在[t-(x/u)]时刻的振动状态)(cos),(uxtAtxy∴P点在t时刻的振动方程为)(cos),(uxtAtxy17二、波动表达式的多种形式：将222Tu,T等代入：)(cosuxtAy)22cos(xtAy)(2cosxTtAy)(2cosutxAy18三、波动方程的物理意义振动y=f(t)一个质点的位移随时间变化的规律波动y=f(x,t)波线上所有质点的位移随时间变化的规律1、假定x=x0常数只考察波线上某固定点)(cos0uxtAy)2cos(0xtAy)cos(/tAyy=f（x，t）蜕变成y=f（t）19（1）波动方程蜕变成x处质元的振动方程（2）x处质元的振动位相02x“－”表示位相的落后于原点0（3）同一时刻，同一波线上两点的振动位相差)(212xxxOx2x1)cos()(/tAty)2cos(0xtA202、假定t=常数（1）波动方程蜕变成t时刻的波线方程y=Acos［ω(t0-x／u)+φ／］)12(,2)12(2,,1212kkxxkkxx时时当可见，波长反映了波动在空间上的周期性。y=f（x，t）蜕变成y=f（x）λλ/2λ/2相当于对某波动过程照相后的相片，这时──故波形图有鲜明的时间特征；21（3）同一质元在不同的两个时刻的振动位相差)22cos(:11xtAy设（2）时间延续△t，整个波形向前推进△x=u·△t据此，可由已知时刻的波形图画出下一时刻的波形图；22)22cos(22xtAyxt22:11则xt2222122tt所以波动周期T反映了波动在时间上的周期性Ttt122kTt则k223tux又有)2cos(xtAy的波形及前图之后4)22cos(TtxtAy例11－1已知某t时刻的波形图，求解：x22xuOx2=0Y24Tt22444TT因为此图滞后前图，x024波形不断向前推进就是波动传播的过程，波动方程描述一个波形的传播。3、x，t都变y=f（x，t）描述波线上各个不同质点在不同时刻的位移t时刻的波形方程为y(x)=Acosω(t－x／u)OYX(t)＋(t)(t)＋2(t)(t)t+Δt时刻的波形方程为y(x)=Acosω(t+Δt－(x+x)／u)25A、波源不在坐标原点，B、波是沿着X轴负向传播，传播速度为uC、波源的振动方y=Acos(ωt+φ0)D、波源相对于介质不静止。怎么办？四、几点补充说明1、计入波源初相的情况：0022cos)(costAuxtAy波源的初相对波的传播过程的贡献是固定的，与波传播的方向、时间、距离无关，故有26３、波源不在坐标原点：应按照前面推求波动方程的思路，写出原点的振动方程，而后再按上面的原则写出波动方程。２、沿x轴负向传播的波：uxt这时是P点的振动超前于0点的振动，超前的时间为：0)(cosuxtAy故有沿负方向传播的波uPxyox27解：*由图可看出O点的振动超前于B点udt∴O点的振动方程为00)(2cosudtAy而这列波沿x轴正向传播0)(2cosuxudtAyouBxyd例11－2:设有一平面简谐波频率为，振幅为A以波速u沿x轴正向传播，已知波线上距原点为d的B点的振动方程为)2cos(tAyB试写出其波动方程。28∴波动方程为)(2cosuxudtAy∴O点的振动方程为)(2cos0udtAy**若B点在原点左边，即如下图，udt此时O点的振动落后于B点ouBxyd29***若这列波沿x轴负向传播，且B点在原点的右方，)(2cosuxudtAy则****若这列波沿x轴负向传播B点在原点的左方)(2cosuxudtAy则oudBxyoudBxy30)2cos(tAy例11－3一列平面简谐波以波速u沿x轴正方向传播，波长为。已知在x0＝处的质元振动表达式为试写出波动方程，2)(cosuxudtAy222cosxdtA将代入，有20xd2222cosxtAy解：或者由原点的位相超前为d2所以向正方向的波动方程为)22cos(xtAy)22cos(xtAxtA22cos2231例11－4图示为一平面简谐波在t＝0时的波形图，求（1）该波的波动方程；（2）P处质点的振动方程解：（1）由图知：A＝0.04m，＝0.40m，且O处质点，t=0时，0sin,0cos00AvAy21)(508.040.0suT又故波动方程为：SIxty214.052cos04.002cosxTtAy取mYmX04.020.0smu08.0P32（2）P点质点的振动方程为：214.02.052cos04.0ty234.0cos04.0t33一、介质中dV体元内的波动能量1、dV内的波动动能2)(21vdmdEk])(cos[0uxtAy设：dVdmdxSdV])(sin[0uxtAtyv])([sin210222uxtAdVdEkxyoxy在介质内任取一体元dv§11-3波的能量342、dv内的波动势能体积元因形变而具有弹性势能Guhxtg221xyGdVEpxh0sinuxtAuxyoyxxyxyxyxlim00222)(sin21uxtAdV在横波中，产生切变35①在同一体元dV内，dEk、dEp是同步的。])([sin)(0222uxtAdVdEdEdEpk３、dV内的总波动能量以上讨论说明：以横波为例，当体积元的位移最大时（即波峰、波谷处），它附近的介质也沿同一方向产生了几乎相等的位移，使该体积元发生的相对形变为零，即此时有y/x